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第二节 一阶微分方程 一、可分离变量的微分方程 二、齐次方程 三、准齐次方程 四、一阶线性微分方程 五、利用变量代换求微分方程的 解 六、小结 思考 题 一、可分离变量的微分方程 g (y )dy = f (x )dx 可分离变量的微分方 4 程 . 4 dy 2 5 - 5 2 例如 = 2x y � y dy = 2x dx , dx 解 设函数g (y )和f (x )是连续的, 法 分离变量法 g (y )dy = f (x )dx � � 设函数G(y )和F (x )是依次为g (y )和 f (x ) 的原函 数, G(y ) = F (x ) C 为微分方程的 隐式通 解 . dy y 例 1 求微分方程 = 的通解. dx x dy dx 解 分离变量 = , y x 1 1 两端积分 dy = dx , � � y x C ln|y | = ln|x | C 1 , 即|y | = e 1 |x |, 为y =所Cx求通解 . � dy � dy 例2 求解微 分 方程a x 2y = yx (a ᄍ 0). � � � dx � dx 解 原方程可化 2ay = x(y - a) dy , 为 dx y -a 2a 分离变量得 dy = dx , y x 两端积分得 y
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