(114)--高等数学C第十一章第一节.pdfVIP

第一节 微分方程的基本概 念 一、几个具体例子 二、微分方程的概念 三、主要问题—求方程的解 四、小结 思考题 一、几个具体例子 例 1 已知曲线通过点(1,0),且其上任一点处切线的 斜率等于该点横坐标平方的 3 倍,求曲线方程. 解 设所 求 曲线 方程 为y = y (x ), 由题有 dy 2 = 3x , 且满足： 当时x = 1 , y = 0. dx 2 3 分 ，得 y = 3x dx , 即 y = x + C , 并 求得C = -1, ￲ 所 以 ，所 求 曲线 方程 为y = x 3 - 1 . 例 2 列车在平直的线路上以 20 米/秒的速度行驶, 当制动时列车获得加速度- 0.4米/秒 2, 问开始制动 后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内 行驶了多少路程？ 解 设 制 动后t秒钟 行驶 米s , s = s(t ), 2 d s 2 = -0.4, t = 0时, s = 0,v = 20, dt ds v = = -0.4t + C , s = -0.2t 2 + C t + C dt 1 1 2 代入条件后知 C1 = 20, C2 = 0, ds v = = -0.4t + 20, dt 故 s = -0.2t 2 + 20t , 20 开始制动到列车完全停住共 t = = 50(秒), 0.4 需 列车在这段时间内行驶了 s = -0.2  502 + 20  50 = 500(米). 例3 某 商 品的需求量Q对价格 的P 弹性 为 P ln 3. 已知该 商 品的最大 需求量 为1200(即 时 P = 0 , Q = 1200),求 需求量Q与价格 的P 函数 关系 . 解 设价格 为P时需, 求量 由Q 题= Q意(P有). , P dQ dQ - P ln3 = -P ln3, = - ln3dP . 分得Q = C e , Q dP Q 再 由P代=入0,可Q 得= 1200, C = 1200. 于是所 求 需求量Q与价格 的P 函数 关系 为 Q = 1200￲ 3- P . 二、微分方程的概念 微分方程 : 把表示未知函数、未知函数的导数 或微分与自变量之间的关系的方程，叫做微分 方程 .