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会计学1高等数学北大二多元函数的微分中值定理与泰勒公式 即 设),(yxfz=在点),(00yx的某一邻域内连续且有直到1+n阶的连续偏导数, 为此邻域内任一点,能否把函数近似地表达为的n次多项式，且误差是当时比 nr 高阶的无穷小． 00,yyxx-=-=一元函数的泰勒公式中令n=0,得拉格朗日中值公式：第1页/共16页 1. 二元函数的微分中值定理定理1 (二元函数的拉格朗日中值公式) 或写成第2页/共16页 证有链规则得 另一方面，又一元函数的拉格朗日中值定理，可以推出，存在一个 ， ，使得即证毕.第3页/共16页 推论 若函数z=f(x,y)在区域D 内具有连续的偏导数且 满足 证明：f(x,y)在D内为一常数.证于是有即f(x,y)在D内为一常数.第4页/共16页 函数 在一点 的 阶微分为:如：2. 二元函数的泰勒公式第5页/共16页 利用这种记号拉格朗日种值公式可写成：第6页/共16页 定理２第7页/共16页 证显然由链规则且递推地得到第8页/共16页 其中--- 拉格朗日余项 则第9页/共16页 令所以二元函数的带皮亚诺 型的泰勒公式泰勒多项式第10页/共16页 例1 求函数 在点(1,1)的二阶泰勒多项式及带皮亚诺余项的泰勒公式.解先计算函数在(1,1)点的各界偏导数：第11页/共16页 即第12页/共16页 第13页/共16页 多元函数的泰勒多项式的唯一性定理.第14页/共16页 例2 在点(0,0)的邻域内，将函数 按带 皮亚诺型余项的泰勒公式展开至二次项.解已知因而由上两式相乘可得有泰勒多项式的惟一性，上式即为所求 .习题 1.2. (4).第15页/共16页
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