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利用导数证明不等式 A组 基础巩固 1．（2021·湖北高二期中）已知函数在，上为增函数，在上为减函数，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．（2021·全国高三月考（理））已知函数是定义在上的单调递增函数，，当时，恒成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（2021·广东茂名市·高三月考）“”是“函数在上为增函数”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2021·湖南高三月考）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．（2021·全国高三专题练习）已知函数f(x)＝mx2＋ln x－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是（ ） A．[－1，1] B．[－1，＋∞) C．[1，＋∞) D．(－∞，1] 6．（2021·全国高三其他模拟）已知函数若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．（2021·全国高三其他模拟）已知函数，，若对恒成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．（2021·江苏高二月考）已知函数导函数为，在上满足，则下列一定成立的是（ ） A． B． C． D． 9．（2021·北京西城区·高三一模）已知函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 10．（2021·全国高三专题练习）已知函数，其中为函数的导数，则_________ 11．（2021·全国高三专题练习（理））已知函数在上的最小值为1，若对于任意，不等式恒成立，则实数m的最小值为__________． 12．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数，若存在唯一的整数，使，则实数的取值范围是________． B组 能力提升 13．（2021·全国高三其他模拟）已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 14．（2021·全国高三月考（理））已知函数，若，使得在恒成立，则的最大值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 15．（2021·湖北高三月考）已知函数满足，若对满足的任意正数都有，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 16．（2021·云南高三二模（文））已知函数，. (1)若，求的取值范围； (2)当时，证明：. 17．（2021·湖北高二期中）已知函数. （1）讨论的极值情况； （2）若时，，求证：. 18．（2021·全国高三月考（理））已知函数，． （1）若在定义域内是减函数，求的最小值； （2）若有两个极值点分别是，，证明：． 19．（2021·全国高三其他模拟）已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若，求证：. 20．（2021·江苏高三其他模拟）已知函数． （1）若直线是曲线的切线，求实数k的值； （2）若对任意，不等式成立，求实数a的取值集合． 利用导数证明不等式解析 A组 基础巩固 1．（2021·湖北高二期中）已知函数在，上为增函数，在上为减函数，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由题意可得两个根分别位于和上，所以，从而解不等式组可求出实数的取值范围 【详解】 解：由，得， 因为在，上为增函数，在上为减函数， 所以两个根分别位于和上， 所以，即， 解得， 故选：A 2．（2021·全国高三月考（理））已知函数是定义在上的单调递增函数，，当时，恒成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据函数是定义在上的单调递增函数，则每一段都为增函数，且的右侧的函数值不小于左侧函数值求得a的范围，再根据时，恒成立，转化为恒成立求解. 【详解】 令，则，所以在上递增， 因为函数是定义在上的单调递增函数， 所以， 解得． 又当时，恒成立， 即，即， 当时，，显然成立； 当时，化简可得． 令，则，当 时，，当时，，所以当时，取得最小值0，所以，即， 所以，当且仅当， 即时等号成立，所以． 综上可知． 故选：C． 【点睛】 方法点睛：恒（能）成立问题的解法： 若在区间D上有最值，则 （1）恒成立：；； （2）能成立：；. 若能分离常数，即将问题转化为：（或），则 （1）恒成立：；； （2）能成立：；. 3．（2021·广东茂名市·高三月考）“”是“函数在上为增函数”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 先求出在上为增函数对应的的范围，根据集合包含关系即可得出. 【详解】 由可得， 若在上为增函数，则在恒成立， 即在恒成立，则， ?， 则可得“”是“函数在上为增函数”的