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恒成立问题 A组 基础巩固 1．（2021·全国高三专题练习（理））若方程在[0,2]上有解，则实数m的取值范围是（ ） A． B．[0,2] C． D． 2．（2021·武汉外国语学校高二期末）已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．（2021·湖南师大附中高二月考）已知函数在处取得极值0，则（ ） A．4 B．11 C．4或11 D．3或9 4．（2021·全国高三专题练习（理））已知为定义在R上的偶函数，当时，恒有，则（ ） A． B． C． D． 5．（2021·全国高三专题练习（理））函数恰有两个整数解，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．（2021·全国高三专题练习）“”是“函数在上单调递增”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2021·全国高二单元测试）函数在区间[-1，2]上不单调，则实数a的取值范围是（ ） A．(-∞，-3] B．(-3，1) C．[1，+∞) D．(-∞，-3]∪[1，+∞) 8．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数，若仅有3个整数解，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．（2021·苏州市第三中学校高二月考）若对任意，不等式恒成立，则a的范围__________． 10．（2020·江苏省包场高级中学高二月考）已知函数，，函数图象上任意一点的切线的斜率恒成立，则的取值范围是___________. 11．（2021·云南昆明市·高三其他模拟（理））已知函数. （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）证明：，. B组 能力提升 12．（2021·全国高三专题练习（理））已知函数，，若，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 13．（2021·全国高三月考（文））已知函数关于的方程（）有8个不同的实数根，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 14．（2021·浙江宁波市·镇海中学高二期末）已知，，函数．若恒成立，则的最大值为（ ） A． B．1 C． D． 15．（2021·全国高三专题练习（文））已知定义域为的函数满足，且，为自然对数的底数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 16．（2021·浙江高三其他模拟）已知不等式对任意恒成立，则实数的最小值为___________. 17．（2021·广东茂名市·高三月考）已知函数，. （1）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）若存在两个不相等的正数，，使得，证明：. 18．（2021·全国高三其他模拟）已知函数，． （Ⅰ）求曲线在处的切线方程； （Ⅱ）求函数在上的单调区间； （Ⅲ）证明：对任意的实数，，，都有恒成立． 19．（2021·江苏省震泽中学高二月考）设函数． （1）当有极值时，若存在，使得成立，求实数的取值范围； （2）当时，若在定义域内存在两实数满足且，证明：． 恒成立问题解析 A组 基础巩固 1．（2021·全国高三专题练习（理））若方程在[0,2]上有解，则实数m的取值范围是（ ） A． B．[0,2] C． D． 【答案】A 【分析】 分离参数得，利用导数求出的值域即可求解. 【详解】 由题意得，方程在[0,2]上有解，则，x∈[0,2]， 令，x∈[0,2]，则，令，解得x1， 因此函数在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增， 又x=1时，；x=2时，y=2；x= 0，y= 0， ∴函数，x∈[0,2]的值域是， 故，∴. 故选：A. 2．（2021·武汉外国语学校高二期末）已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 对函数求导，求出的值，可得出函数的解析式，进而可求得的值. 【详解】 ，，，可得， ，因此，. 故选：C. 3．（2021·湖南师大附中高二月考）已知函数在处取得极值0，则（ ） A．4 B．11 C．4或11 D．3或9 【答案】B 【分析】 由题意可知，解方程组得和的值，再代入检验是否能使是原函数的极值点. 【详解】 因为，由题有，即，解得或，检验：当时，不合题意，舍掉； 当时，，令，得或；令得. 所以在，上单调递增，在上单调递减，符合题意，则. 故选：B. 【点睛】 本题考查根据函数的极值求参数的值，本题的易错点在于当令时，方程组有两组解，一定要注意检验和的值是否能使在处取得极值. 4．（2021·全国高三专题练习（理））已知为定义在R上的偶函数，当时，恒有，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由以及函数为偶函数，可判断函数的单调性，再根据自变量绝对值的大小进行判断. 【详解】 因为，，