导数与函数的单调性重难点突破.docxVIP

导数与函数的单调性 【重难点知识点网络】： 1．函数的单调性与其导数的关系 在某个区间内，如果___________，那么函数在这个区间内单调递增；如果___________，那么函数在这个区间内单调递减． 注意：在某个区间内，（）是函数在此区间内单调递增（减）的充分条件，而不是必要条件．函数在内单调递增（减）的充要条件是（）在内恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0． 2．函数图象与之间的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较___________，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些． 【重难点题型突破】： 一、利用导数判断函数的单调性 （1）利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式（）在给定区间上恒成立．一般步骤如下： ①求导数；②判断的符号；③给出单调性结论． （2）在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集可以省略不写．在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点． （3）当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“∪”连接． 例1．（2021·湖北高二开学考试）函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】．（2021·全国高二单元测试）在内的单调性是（ ） A．增加的 B．减少的 C．在内是减少的，在内是增加的 D．在内是增加的，在内是减少的 【变式训练1-2】．（2021·浙江高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 例2．（2021·全国高二课时练习）已知函数.讨论函数的单调性. 【变式训练1-2】．（2021·江苏泰州市·泰州中学高二月考）设函数，其中． 若，讨论的单调性； 【变式训练1-3】．（2021·浙江高三其他模拟）已知函数（）． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，令，若函数的图象与直线相交于不同的两点，，设，（）分别为点，的横坐标，求证：． 【变式训练1-4】．（2021·全国高二单元测试）求下列各函数的单调区间： （1）f(x)=2x3-3x2； （2）． 【变式训练1-5】．（2021·全国高三月考（文））已知函数. （1）判断的单调性； （2）若方程有唯一实根，求证：. 二、函数与导函数图象之间的关系 判断函数与导数图象间对应关系时，首先要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象，其次对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致． 例2．（2021·西安市第八十三中学高二期末（理））函数在定义域内可导，其图象如图所示，记的导函数为，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式训练2-1】．（2021·全国高二课时练习）导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数y＝f (x)的图象可能是（ ） A．B．C．D． 【变式训练2-2】．（2021·四川遂宁市·高三二模（文））函数的大致图象为（ ） A． B． C． D． 三、导数在解决单调性问题中的应用 （1）已知函数的单调性求参数的值或取值范围问题，是一类非常重要的题型，其基本解法是利用分离参数法，将或的参数分离，转化为求函数的最值问题． （2）利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解． 例3．（2021·全国高二月考（理））已知在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-1】．（2021·山西高三一模（文））已知函数，对于任意实数，，且，都有，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】．（2020·江苏星海实验中学高二期中）已知在区间上为单调递增函数，则实数的取值范围是__________． 【变式训练3-3】．（2021·全国高三专题练习）已知函数.若在上是单调递增函数，求的取值范围； 【变式训练3-4】．（2021·全国高三专题练习）已知函数．讨论的单调性； 【变式训练3-5】．．（2021·陕西榆林市·高三二模（文））已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，求的取值范围. 【变式训练3-6】．（2021·全国高二课时练习）设函数，讨论函数的单调性. 【变式训练3-7】．（2021·全国高二课时练习）已知函数，讨论的单调性. 导数与函数的单调性解析 例1．（2021·湖北高二开学考试