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导数与函数的最值 【重难点知识点网络】： 1．函数的最值与导数 一般地，如果在区间上函数的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值与最小值． 2．求函数最值的步骤 求函数在上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求函数在内的________； （2）将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 【重难点题型突破】： 一、求函数的最值 求函数最值的步骤是： （1）求函数在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．其中准确求出函数的极值是解题的关键． 需注意：（1）要在定义域（给定区间）内列表；（2）极值不一定是最值，一定要将极值与区间端点值比较，必要时需进行分类讨论． 例1．（1）（2021·全国高二课时练习）函数y＝的最大值为（ ） A．e－1 B．e C．e2 D．10 （2）（2021·江苏高二单元测试）函数在[0，2]上的最大值是（ ） A． B． C．0 D． （3）（2021·广东湛江市·高三一模）（多选题）已知函数f(x)=x3-3lnx-1，则（ ） A．f(x)的极大值为0 B．曲线y=f(x)在（1，f(1))处的切线为x轴 C．f(x)的最小值为0 D．f(x)在定义域内单调 【变式训练1-1】、（2021·全国高二月考（理））函数在上的最大值与最小值之和为（ ） A．-46 B．-35 C．6 D．5 【变式训练1-2】、（2021·河南驻马店市·高三期末（文））已知函数，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】、（2021·天津静海区·静海一中高二月考）函数在区间上的最大值为（ ） A．0 B． C． D． 例2．（2021·全国高三专题练习（理））若，，求： （1）的单调增区间； （2）在上的最小值和最大值. 【变式训练2-1】、（2021·全国高二课时练习）已知函数. （1）求函数的单调递减区间； （2）求函数在上的最大值和最小值. 二、函数最值的应用 由函数的最值确定参数的问题一般采用待定系数法，由已知条件列出含参数的方程或者方程组，从而求得参数的值． 例3、（2021·山东菏泽市·高三一模）（多选题）对于函数，下列说法正确的是（ ） A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点 C． D．若在上恒成立，则 【变式训练3-1】、（2020·江苏省滨海中学高三月考）对任意的，不等式恒成立，则的最小值为______. 例4．（2021·全国高三月考（文））已知函数． （1）求函数在上的最值； （2）求证：当时，关于的方程仅有1个实数解． 【变式训练4-1】、（2020·咸阳市高新一中高三月考（理））已知函数． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值． 三、恒成立问题 利用函数的最值解决不等式恒成立问题是函数最值的重要应用．要使不等式在区间上恒成立，可先在区间上求出函数的最大值，只要，则上面的不等式恒成立．同理，要使不等式在区间上恒成立，可先在区间上求出函数的最小值，只要，则不等式恒成立． 例5（2021·湖北高三月考）已知不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是___________. 【变式训练5-1】、（2021·浙江高三其他模拟）已知，在上恒成立，则实数的取值范围为______． 例6．（2020·哈尔滨市·黑龙江实验中学高三开学考试（文））已知函数的图像在点处的切线方程为. （1）求的表达式； （2）当时，恒成立，求的取值范围. 导数与函数的极值解析 例1．（1）（2021·全国高三专题练习（理））函数（e为自然对数的底数），则下列说法正确的是（ ） A． 在R上只有一个极值点 B．在R上没有极值点 C．在处取得极值点 D．在处取得极值点 【答案】C 【分析】 利用导数研究的零点情况，有或时存在极值点，令有即可确定零点分布情况，进而可判断各选项的正误. 【详解】 由题意，， ∴若，即或， 令，则， ∴当时，；当时，； ∴在上递减，在上递增；又，而，故在上存在一个零点.∴在R上至少存在两个极值点，分别为、. 故选：C （2）．（2021·陕西汉中市·高三一模（理））设是函数的一个极值点，则（ ） A．﹣3 B． C． D．3 【答案】C 【分析】 利用导数判断极值点，弦化切求解即可. 【详解】 解：∵由已知可得， ∴． 故选：C． （3）．（2021·吴县中学高二月考）函数的极大值为（ ） A．18 B．21 C．26 D．28 【答案】D 【分析】 求导，利用导数研究函数的单调区间，确定在哪个点取得极值，进而得到答案. 【详解】 函数的定义域为，求导，令，解得：， 极大值 极小值