导数与函数的极值重难点突破.docxVIP

导数与函数的极值 【重难点知识点网络】 1．函数极值的概念 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧________，右侧________，就把点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值． 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧________，右侧________，就把点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值． 极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 2．可导函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件 必要条件：可导函数在处取得极值的必要条件是________． 充分条件：可导函数在处取得极值的充分条件是在两侧异号． 3．函数极值的求法 一般地，求函数的极值的方法是： 解方程．当时： （1）如果在附近的左侧，右侧，那么是________； （2）如果在附近的左侧，右侧，那么是_________． 【重难点题型突破】： 一、求函数的极值 （1）求函数的极值首先要求函数的定义域，然后求的实数根，当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然． （2）利用导数求极值时，一定要讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨论（可从导数值为0的几个x值的大小入手）． 例1．（1）（2021·全国高三专题练习（理））函数（e为自然对数的底数），则下列说法正确的是（ ） A． 在R上只有一个极值点 B．在R上没有极值点 C．在处取得极值点 D．在处取得极值点 （2）．（2021·陕西汉中市·高三一模（理））设是函数的一个极值点，则（ ） A．﹣3 B． C． D．3 （3）．（2021·吴县中学高二月考）函数的极大值为（ ） A．18 B．21 C．26 D．28 （4）．已知，则（ ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．有极大值，无极小值 D．有极小值，无极大值 【变式训练1-1】、（2021·吴县中学高二月考）（多选题）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中错误的是（ ） A．是函数的极值点 B．函数在处取得极小值 C．在区间上单调递减 D．的图象在处的切线斜率小于零 【变式训练2-1】、（2021·全国高三其他模拟）（多选题）关于函数，下列判断正确的是（ ） A．是的极大值点 B．函数有且只有1个零点 C．存在正实数，使得恒成立 D．对任意两个正实数，，且，若，则 【变式训练2-2】、（2020·浙江绍兴市·绍兴一中高二期中）若函数，则__________，的极大值点为__________． 二、函数极值的应用 解决利用函数的极值确定函数解析式中参数的值的问题时，通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值．需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数的值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件． 例2．（2021·河南高二月考（理））已知函数在处取得极值，则（ ） A．4 B．3 C．2 D． 【变式训练2-1】、（2021·甘肃兰州市·高三其他模拟（文））已知函数的一个极值点为，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】、（2021·全国高二课时练习）函数在上的极大值点为（ ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】、（2021·盐城市伍佑中学高三期末）（多选题）已知函数，则（ ） A．的周期为 B．的图象关于点对称 C．在上为增函数 D．在区间上所有的极值之和为10 例3．（2021·浙江温州市·高三二模）已知函数． （1）若函数没有极值点，求实数的取值范围； （2）若对任意的恒成立，求实数和所满足的关系式，并求实数的取值范围． 例4．（2020·宁夏长庆高级中学高二月考（理））已知函数． （1）若，证明：当时，；当时，； （2）若是的极大值点，求． 例5．（2020·全国高三专题练习（文））已知函数.证明： （1）存在唯一的极值点； （2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数. 例6．（2020·四川成都市·成都七中高三开学考试（文））设函数=[]． （1）若曲线在点（1，）处的切线与轴平行，求； （2）若在处取得极小值，求的取值范围． 导数与函数的极值解析 例1．（1）（2021·全国高三专题练习（理））函数（e为自然对数的底数），则下列说法正确的是（ ） A． 在R上只有一个极值点 B．在R上没有极值点 C．在处取得极值点 D．在处取得极值点 【答案】C 【分析】 利用导数研究的零点情况，有或时存在极值点，令有即可确定零点分布情况，进而可判断各选项的正误. 【详解】 由题意，， ∴若，即或， 令，则， ∴当时，；当时，； ∴在上递减，在上递增；又