构造全等三角形的方法详细解析.docxVIP

构造全等三角形的方法 在证明两个三角形全等时， 选择三角形全等的五种方法 （“SSS, “SAS , “ASA , “AAS, “ HL”）中，至少有一组相等的边，因此在应用时要养成先找边的习惯。如果选择找到了一 组对应边，再找第二组条件，若找到第二组条件是对应边，则再找这两边的夹角用“ SAS 或再找第三组对应边用“ SSS ;若找到第二组条件是角，则需找另一组角（可能用“ ASA 或“AAS）或夹这个角的另一组对应边用 “SAS ；若是判定两个直角三角形全等则优先考虑 “ HL” 。搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造 合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了. 一、利用三角形的角平分线来构造全等三角形 （可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。 ） 1 如图，在△ ABC中，AD平分/ BAC。画一画。 法一：在 AB上截取 AE=AC，连结 DE。 法二：延长 AC至U F，使AF=AB，连结DF。 法三：作DM丄AB于M , DN丄AC于N。 2、如图, ,/ BAD 和/ ADC 的平分 DC 分别交I 、B两点.求i 证明：在线段 AD上取AF = AB，连接EF, ?/ AE是/ BAD的角平分线，二/ 1 = 2 2, ?/ AF = AB AE = AE，二△ ABE AFE ,二2 B = 2 AFE 由 CD // AB 又可得2 C +2 B = 180°,二2 AFE + 2 C= 180°, 又丁2 DFE + 2 AFE = 180°,二2 C =2 DFE， ?/ DE 是2 ADC 的平分线，二2 3 =2 4, 又 t DE = DE，二△ CDE FDE，二 DF = DC , ?/AD = DF+ AF,「. AD = AB + DC . E，过E的直线 3、已知：如图，在四边形 ABCD中，BD是/ ABC的角平分线， AD=CD. 求证：2 A+ 2 C=180 法一：证明：在 BC上截取BE,使BE=AB，连结DE。 法二：延长 BA到F,使BF=BC，连结DF ?/ BD是/ ABC的角平分线 仁/2 （角平分线定义） 在厶ABD和厶EBD中 （已知） AB=EB （已知） / 1 = / 2 （已证） BD=BD （公共边） /?△ ABD EBD （S.A.S） ./ A = / 3 （全等三角形的对应角相等） ?/ BD是/ ABC的角平分线（已知） 仁/2 （角平分线定义） 在厶BFD和厶BCD中 BF=BC （已知） / 1= / 2 （已证） BD=BD （公共边） /?△ BFD BCD （S.A.S） ./F=/C （全等三角形的对应角相等 AD=DE （全等三角形的对应边相等） ?/ AD=CD （已知），AD=DE （已证） .DE=DC （等量代换） 4=/ C （等边对等角） ?/ / 3+ / 4 = 180° （平角定义）, DF=DC （全等三角形的对应边相等） ?/ AD=CD （已知），DF=DC （已证） .DF=AD （等量代换） 4=/ F （等边对等角） ?/ / F=/ C （已证） / A = Z 3 （已证） A+ / C= 180° （等量代换） 4= / C （等量代换） ?/ / 3+ / 4= 180° （平角定义） A+ ZC = 180° （等量代换） 法三：作 DM丄BC于M，DN丄BA交BA的延长线于 ?/ BD是/ ABC的角平分线（已知） 仁/2 （角平分线定义） ?/ DN 丄 BA，DM 丄 BC （已知） N= / DMB=9° 在厶NBD和厶MBD中 No （垂直的定义） / N= / DMB （已证） BD=BD （公共边） /?△ NBD MBD （A.A.S ） .ND=MD （全等三角形的对应边相等） ?/ DN 丄 BA , DM 丄 BC （已知） /?△ NAD 和厶 MCD 是 在 Rt△NAD 和 Rt△MCD 中 RtA ND=MD （已证） AD=CD （已知）.Rt△NAD 幻Rt△MCD （H.L） ./ 4= / C （全等三角形的对应角相等） T / 3+ / 4 = 180° （平角定义）， / A = /3 （已证） 法四：作 DM丄BC于M , DN丄BA交BA的延长线于 No ?/ BD是/ ABC的角平分线（已知） / C= 180° （等量代换） DN丄BA , DM丄BC （已知） .ND=MD （角平分线上的点到这个角的两边距离相等） ?/ DN 丄 BA , DM丄BC （已知） .△ NAD 和厶 MCD 是 Rt△ 在 Rt△NAD 和 Rt△MCD 中 ND=MD