勾股定理的各类题型详细解析.docxVIP

PAGE PAGE # / 13 勾股定理各种题型: 一：勾股定理面积相等法： 方法1: 4耳+ 耳=牡彌啦，4x—ab^(b—a) =c .化简可证* 方法2: 四个直甫三角形的面积与小正方形面积朗和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方册面积的和为S = 4x-abA-c2 = 2ab+c2 2 丈IF污环而积讨S二(口 +方)：—/ + A方亠亍 所以/+沪=圧 方法3: B B 1 1 - 务诫=於屮匹+ = 2 \血+ ，化简冃证 ibfJw -Jtf ibf 二：方程思想和勾股定理结合的题目 1.（2016春?宜春期末）一旗杆在其 的B处折断，量得AC=5米，则旗杆原来的高度为（ ） A . 「米 B . 2“；.污米 C. 10米D.乐鋼米 【考点】勾股定理的应用. 【分析】 可设AB=x，贝U BC=2x，进而在厶ABC中，利用勾股定理求解 x的值即可. 【解答】 解：由题意可得，AC2=BC2-AB2,即（2x） 2- x2=52，解得x=仝…， _ 3 所以旗杆原来的高度为 3x=5二，故选D . 【点评】能够利用勾股定理求解一些简单的直角三角形. 2?（2016 春？防城区期中）如图，在△ ABC 中，/ B=40 ° EF// AB，/ 1=50 ° CE=3 , EF 比CF大1,则EF的长为（ ） A . 5 B. 6 C. 3 D. 4 【考点】勾股定理；平行线的性质. 【分析】由平行线的性质得出/ A= /仁50 °得出/ C=90 °设CF=x，则EF=x+1,根据勾 股定理得出方程，解方程求出 x,即可得出EF的长. 【解答】 解：I EF // AB , ???/ A= / 1=50 ° ???/ A + Z B=50 °+40°=90 ° ???/ C=90° 设 CF=x，则 EF=x+1, 根据勾股定理得：ce2+cf2=ef2, 即 32+x2= （x+1） 2, 解得：x=4 , EF=4 + 1=5, 故选：A. 【点评】本题考查了平行线的性质、 直角三角形的判定、勾股定理；熟练掌握平行线的性质， 并能进行推理论证与计算是解决问题的关键. 3?（2015春？蚌埠期中）已知，如图长方形 ABCD中，AB=3cm , AD=9cm，将此长方形折 叠，使点B与D重合，折痕为EF，则BE的长为（ ） 【考点】翻折变换（折叠问题）. 【分析】 根据折叠的性质可得 BE=ED，设AE=x，表示出BE=9 - x，然后在Rt△ ABE中， 利用勾股定理列式计算即可得解. 【解答】 解：???长方形折叠点 B与点D重合， .BE=ED , 设 AE=x，贝U ED=9 - x, BE=9 - x, 2 2 2 在 Rt△ ABE 中，AB +AE =BE , 即 32+x2= （9 - x） 2, 解得x=4 , .AE的长是4, ??? BE=9 - 4=5 , 故选C. 【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于 AE的长的 方程是解题的关键. 4?（2008秋?奎文区校级期末）在我国古代数学著作 《九章算术》中记载了一个有趣的问题， 这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为 10尺的正方形，在水池正中央有一根 新生的芦苇，它高出水面 1尺，如图所示，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到 达岸边的水面.那么水深多少？芦苇长为多少？ 【考点】勾股定理的应用. 【分析】找到题中的直角三角形，设水深为 x尺，根据勾股定理解答. 【解答】解；设水深为x尺，则芦苇长为（X+1 ）尺， 根据勾股定理得： / :匸一.；… 解得：x=12 （尺）， 芦苇的长度=x + 1=12 +仁13 （尺）， 答：水池深12尺，芦苇长13尺. 【点评】此题是一道古代问题， 体现了我们的祖先对勾股定理的理解， 也体现了我国古代数 学的辉煌成就. 三：勾股定理应用：求最短距离问题 （2014秋？环翠区期中）如图，长方体的底面边长为 1cm和3cm，高为6cm .如果用一 根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达 B,那么所用细线最短需要（ ） A . 12cm B. 11cm C. 10cm D. 9cm 【考点】平面展开-最短路径问题. 【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据 两点之间线段最短 得出结果. 【解答】解：将长方体展开，连接 A、B, 则 AA=1+3+1+3=8 （cm）, AB=6cm , 根据两点之间线段最短， AB = - -=10cm . 面”用勾股定理解决.最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开化立体为平 面”用勾股定理解决. 最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开 化立体为平 2. （2016春？