勾股定理经典题目及答案详细解析.docxVIP

22 2 2 勾股定理 1勾股定理是把形的特征(三角形中有一个角是直角)，转化为数量 关系(a2+ b2=c2),不仅可以解决一些计算问题，而且通过数的计算 或式的变形来证明一些几何问题，特别是证明线段间的一些复杂的等 量关系.在几何问题中为了使用勾股定理，常作高(或垂线段)等辅 助线构造直角三角形. 勾股定理的逆定理是把数的特征(a2+ b2=c2)转化为形的特征(三 角形中的一个角是直角)，可以有机地与式的恒等变形，求图形的面 积，图形的旋转等知识结合起来，构成综合题，关键是挖掘“直角” 这个隐含条件. △ ABC中 / C= Rt /二 a2+ b2=c2 为了计算方便，要熟记几组勾股数: 3、 3、4、5; 6、8 10; 5、12、13; 8、15、17; 9、40、41. 勾股定理的逆定理是直角三 角形的判定方法之一. 实际问題 (直角三角形边长计埠) .1 互逆定理 1 1 实陌间题 (刊走直角三弟形) 判胆疋理巾址正理 一般地说，在平面几何中，经常利用直线间的位置关系，角的相互 关系而判定直角，从而判定直角三角形，而勾股定理则是通过边的计 算的判定直角三角形和判定直角的.利用它可以判定一个三角形是 否是直角三角形，一般步骤是： 确定最大边； 算出最大边的平方，另外两边的平方和； 比较最大边的平方与另外两边的平方和是否相等，若相等, 则说明是直角三角形； 勾股数的推算公式 ①罗士琳法则(罗士琳是我国清代的数学家 1789―― 1853) 任取两个正整数m和n(mn),那么m2-n2, 2mn, m2+n2是一组勾 股数。 ②如果k是大于1 ②如果k是大于1的奇数，那么k, k2 -1 k2 1曰 疋 组勾股数。 z 2 z 2 如果k是大于2的偶数，那么k,上】_1,上〕+1是一组勾股 迄丿 ⑺ 数。 如果a,b,c是勾股数，那么na, nb, nc （n是正整数）也是 勾股数。 典型例题分析 例1在直线I上依次摆放着七个正方形（如图1所示），已知斜放置 的三个正方形的面积分别是1, 2, 3,正放置的四个正方形的面积依 a、 a、b、 c、d 则有 a2+b2=1, c2+d2=3, S1=b2 S2二a2, S3二c2, S4=d2 S1+S2+S3+S4二b2+a2+c2+d2=1+3=4 例2已知线段a，求作线段.5 a 分析一 ：\ 5 a = . 5a2 = ,4a2 a2 、5a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边。 分析二： 5 a= 9a -4a2 5 a是以3a为斜边，以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边。 作图（略） 例3如图：(1)以Rt△ ABC勺三边长为边作三个等边三角形，则这三 个等边△的面积，S1、S2、S3之间有何关系，说明理由。 (2)如图(2)，以Rt△ ABC的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆 的面积S1, S2, S3之间有何关系？ ⑶ 如果将图⑵ 中斜边上的半圆沿斜边翻折180°,成为图⑶，请 验证：“两个阴影部分的面积之和正好等于直角三角形的面积” (此 阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙) (2)类似于(1) : S1+S2=S3 (3)图中阴影部分的面积是S1+S2+SXABC-S3 二 S 阴影=SA ABC 例4.如图3,图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直 角三角形，若所有的正方形的面积之和为 507cm2试求最大的正方 形的边长分析：此题显然与勾股定理的几何意义有关，即S1+S2二S3 S5+S6二S4 S3+S4=S?I所以 S1+S2+S5+S6二S3+S4阴从而有3S阴=507，即S阴=169(cm2)???最大的正方形的边长为13cm例5图(7)中，若大正方形EFGH 形的边长 分析：此题显然与勾股定理的几何意义有关，即 S1+S2二S3 S5+S6二S4 S3+S4=S?I 所以 S1+S2+S5+S6二S3+S4阴 从而有3S阴=507，即S阴=169(cm2) ???最大的正方形的边长为13cm 例5图(7)中，若大正方形EFGH勺边长为1,将这个正方形的四个角 剪掉，得到四边形ABCD试问怎么剪才能使剩下的图形 ABCD仍为正 方形，且剩下图形的面积为原正方形面积的 5/9 (3)设剪去的四个直角三角形的直角边长为 a, 且 ab, b (7) 9 a+b = 1 ■ 4 ,1 v 5 d 4x—ab +— = 1 L 2 9 ab=3 L 则 2 SL 二— 3 b = - GD 将正方形EFGH勺边长三等分，使 EB _ FC _ _ _ _ _ BF * CG ~LE ~ AE ~ HA ￡ 5 积的。，只要剪去△ ABE △ BCF △ CDG △ DAH即可。 二、要学会用方程观点解题S?c例