教师版导数的应用一单调性.docVIP

导数的应用一----函数的单调性 知识回顾： 1、基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝ax(a0，a≠1) f′(x)＝axln_a f(x)＝ln x f′(x)＝eq \f(1,x) f(x)＝logax (a0，a≠1) f′(x)＝eq \f(1,xln a) 2、导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f?x?,g?x?)))′＝eq \f(f′?x?g?x?－f?x?g′?x?,[g?x?]2)(g(x)≠0)． 3、复合函数求导法则 复合函数，设，则；且与存在； 则函数 的导函数为，最后再将代入即可； 练习：求下列函数的导函数： （1）（2）（3）（4） 二、新课 1．函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负关系 (1)若f′(x)0，则f(x)在这个区间上是增加的； (2)若f′(x)0，则f(x)在这个区间上是减少的； (3)若f__′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数． 　eq \a\vs4\al([必记结论])　 f′(x)＞0与f(x)为增函数的关系 f′(x)＞0能推出f(x)为增函数，但反之不一定．如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上是增函数，但f′(x)≥0，在此处，只有处的导数为0，因此，孤立的导数为0的点不影响函数的单调性；对非“常函数”初等函数而言： ①f(x)在为增函数f′(x)≥0； ②f(x)在为减函数f′(x)0； 以上结论作为证明函数单调性的理论依据。 2．利用导数求函数单调性区间的一般步骤 (1)求f__′(x)； (2)在定义域内解不等式f__′(x)0或f__′(x)0； (3)根据结果确定f(x)的单调区间． 　eq \a\vs4\al([必记结论])　 在某个区间(a，b)上，若f　′(x)0，则f(x)在这个区间上单调递增；若f　′(x)0，则f(x)在这个区间上单调递减；若f　′(x)＝0恒成立，则f(x)在这个区间上为常数函数；若f　′(x)的符号不确定，则f(x)不是单调函数． 1．函数f(x)＝x＋eln x的单调递增区间为(　　) A．(0，＋∞)　　　　　　　　 B．(－∞，0) C．(－∞，0)和(0，＋∞) D．R 解析：函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋eq \f(e,x)0，故单调增区间是(0，＋∞)． 答案：A 2．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则f(x)的图象可能是(　　) 解析：当x＜0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c＜0，知相应的函数f(x)在该区间内单调递减；当x＞0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，在区间(0，x1)内函数f(x)单调递增．只有D选项符合题意． 答案：D 3．已知f(x)＝x2＋ax＋3ln x在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，－2eq \r(6)]　　　　 B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(\r(6),2))) C．[－2eq \r(6)，＋∞) D．[－5，＋∞) 解析：由题意得f′(x)＝2x＋a＋eq \f(3,x)＝eq \f(2x2＋ax＋3,x)≥0在(1，＋∞)上恒成立?g(x)＝2x2＋ax＋3≥0在(1，＋∞)上恒成立?Δ＝a2－24≤0或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(a,4)≤1,g?1?≥0))?－2eq \r(6)≤a≤2eq \r(6)或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a≥－4,a≥－5))?a≥－2eq \r(6)，故选C. 答案：C 4．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________． 解析：由f(x)＝x3－15x2－33x＋6得f′(x)＝3x2－30x－33，令f′(x)＜0，即3(x－11)(x＋1)＜0，解得－1＜x＜11，所以函数f(x)的单调减区间为(－1,11)． 答案：(－1,11) 5．函数f(x)＝1＋x－sin x在(0,2π)上的单调情况是________． 解析：在(0,2π)上有f′(x)＝1－cos x＞0，所以f(x)在(0,2π)上单调递增．