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立体几何解答题题库答案 1. （1）作法：取的中点，连接，则直线即为要求作的直线． 证明如下：，且，平面． 平面平面，且平面，平面平面． 平面，． 又，为的中点，则，从而直线即为要求作的直线． （2）将三棱锥分成体积之比为的两部分， 四面体的体积与三棱锥分成体积之比为， 又平面平面，． 易证平面，则到平面的距离即为到平面的距离， 又为的中点，到平面的距离， 故四棱锥的体积． 2. (1)由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形， PA⊥平面ABCD，PA∥EB，且PA＝4，BE＝2，AB＝AD＝CD＝CB＝4， ∴VP－ABCD＝PA×SABCD＝×4×4×4＝. ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）证明：连结AC交BD于O点，取PC中点F，连结OF， ∵EB∥PA，且EB＝PA， 又OF∥PA，且OF＝PA，∴EB∥OF，且EB＝OF， ∴四边形EBOF为平行四边形，∴EF∥BD. 又EF?平面PEC，BD?平面PEC，所以BD∥平面PEC.┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉8分 解法二： 可取PA的中点Q,证明平面PEC∥平面BDQ.BD?平面BDQ.所以BD∥平面PEC. (3)存在，点M为线段BC上任意一点. 证明如下： 连结BP，∵＝＝，∠EBA＝∠BAP＝90°， ∴△EBA∽△BAP，∴∠PBA＝∠BEA， ∴∠PBA＋∠BAE＝∠BEA＋∠BAE＝90°，∴PB⊥AE. 又∵BC⊥平面APEB，∴BC⊥AE，∴AE⊥平面PBC， ∴点M为线段BC上任意一点，均可使得AE⊥PM. ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉12分 3. （Ⅰ）在梯形中,∵,, ∴, ∴,∵. ∴, ∴,∴.（4分） ∵平面平面,平面平面,∴平面. （Ⅱ）在中,,∴. 分别以为轴,轴,轴建立平面直角坐标系, 设,则,,, ,,则,,易知平面的一个法向量为, ∵平面的法向量为,∴即令,则,, ∴平面的法向量为,∵二面角的平面角的余弦值为, ∴,解得,即.（10分） 所以六面体的体积为： .（12分） 4. （1）证明：取AD的中点O，连OC,OP ∵为等边三角形，且O是边AD 的中点 ∴ ∵平面底面，且它们的交线为AD ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ （2）设点M到平面ACD的距离为 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 5. （I）连PM、MB ∵PD⊥平面ABCD ∴PD⊥MD ∴PM=BM 又PN=NB ∴MN⊥PB 得NC⊥PB ∴PB⊥平面MNC 平面PBC ∴平面MNC⊥平面PBC （II）取BC中点E，连AE，则AE//MC∴AE//平面MNC， A点与E点到平面MNC的距离相等 取NC中点F，连EF，则EF平行且等于BN ∵BN⊥平面MNC ∴EF⊥平面MNC，EF长为E 点到平面MNC的距离 ∵PD⊥平面ABCD， 又BC⊥DC 面 ∴BC⊥PC. 即点A到平面MNC的距离为 6. （2）连接A1B，设A1B∩AB1=F，连接EF． 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形AA1B1B为平行四边形， 所以F为A1B的中点． 又因为E是BC的中点， 所以EF∥A1C． 因为EF在平面AB1E内，A1C不在平面AB1E内， 所以A1C∥平面AB1E． 7. 证明：（1）∵ABCD为矩形，∴BC⊥AB， 又∵平面ABCD⊥平面AEBF，BC平面ABCD，平面ABCD∩平面AEBF=AB， ∴BC⊥平面AEBF， ……………（2分） 又∵AF平面AEBF，∴BC⊥AF. ……………（3分） ∵∠AFB=90°，即AF⊥BF，且BC、BF平面BCF，BC∩BF=B， ∴AF⊥平面BCF. ……………（5分） 又∵AF平面ADF，∴平面ADF平面BCF. ………………………………（6分） （2）∵BC∥AD，AD平面ADF，∴BC∥平面ADF. ∵和均为等腰直角三角形，且90°， ∴∠FAB=∠ABE=45°，∴AF∥BE，又AF平面ADF，∴BE∥平面ADF， ∵BC∩BE=B，∴平面BCE∥平面ADF. 延长EB到点H，使得BH =AF，又BC AD，连CH、HF，易证ABHF是平行四边形， ∴HFABCD，∴HFDC是平行四边形，∴CH∥DF. 过点B作CH的平行线，交EC于点G，即BG∥CH∥DF，（DF平面CDF） ∴BG∥平面CDF，即此点G为所求的G点. ………………………………（9分） 又BE=，∴EG=，又， ， 故..………………………………（12分） 8. （1）证明：四边形为菱形 ，………………1分 又面面= ………………2分 面面C………………3分 ,………………4分 ………………5分 ………………………………6分 （2）在中， 所以,………………6分