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用高观点教数学 作者： 周长生 （北京四中） 选自 《为不教而教》一书 概 述 这里所说的高观点，是高层次的观点、理论、思想、方法的总称。 中国有一句古老的教育名言：师傅领进门，修行在个人。这句话虽然家喻户晓。但是， 怎样领法呢？根据我的经验，教师主要用高观点武装学生头脑，使他们居高临下，自主修行。 任何事情，只有用较高的观点去审视，才能看清它的本质。 严格来说，同数学课本中的知识一样，高观点也属于知识的范围。因此，从数学教学的 角度来看，我们面对的是一座知识的高楼大厦，不同层次的知识居住在不同的楼层。 课本住在哪？主要在底下，D1，D2，D3等。 高观点住在哪？主要在地上，F1，F2，F3等。 可见，这里所说的高观点主要是高于课本的观点，它是获取课本上基本知识的有效手段。 没有高观点，即使有苦读深思的习惯，即使把书读破读烂，也是事倍功半。 可以这样讲：精读深思+高观点 如虎添翼。 就中学数学教学而言，高观点有哪些呢？ 我不可能说出全部的高观点，根据几十年的经验，我大致谈五个层面。 第一、共性个性原理； 第二、简易逻辑知识； 第三、学习数学的主要原则； 第四、数学的主要特点； 第五、一些数学学习方法口诀。 以下，将分别加以叙述。 一、共性个性原理 （一）回顾和问题 本来，从数学教学的角度看问题应该把方法和知识区分开来，把方法看做获取知识的手 段。方法和知识的关系，应看成渔和鱼的关系。 渔和鱼，无论如何不能混为一谈。试想，有哪个人，吃鱼时却吃起鱼杆来？ 但是，严格说来，方法和知识又很难区分。比如，有个计算题 “已知三角形的两个角分 别是50°和60°，求第三个角”，若问，解这个题应该用什么方法，人们都会说三角形的内 1 角和定理，可见，三角形内角和定理这个基本知识，此时很自然地被人们看成了方法。又比 如，解一元二次方程的公式法，是一个方法，但根的公式却又是很重要的基本知识。 在中学数学里，想以上那样，方法和知识难以区分的事实还可以举出很多很多。事实上， 教科书里，每一个定理，法则，公式等基本知识都可以看成方法，而每一个带 “法”字的所 谓方法又都是基本知识。 就数学教科书本身来说，方法和知识难以区分，或者不加以区分，有什么坏处呢？好像 看不出来。但是，从教学上来看，有时候却发生了问题。 例如，在20世纪50年代，有个老教师提出点金术来，不仅要给学生金子，而且更重要 的是给学生点金术。学校领导也号召其他老师向这位老教师学习。但是号召归号召，变化不 大，为什么？因为，大家不了解点金术究竟是什么样，甚至误认为带有 “法”字的基本知识 就是点金术。 又如，常有学者倡导，教数学要重视渔，但渔和鱼怎样区分，也没有细说。 近二三十年，有些学者相继又提出数学思想，数学方法等，其用意虽然想提高教学水平， 但是，由于提法本身模糊笼统，使得老师没个抓挠，收效也不明显。 由此可见，不把方法和知识区分开来，对改进教学是不利的。既然如此，何不分开？不 过，分开也有分开的困难。若把教科书中的基本知识看作 “金”，看做 “鱼”，那么点金术和 渔是什么样呢？倡导者自己也说不清楚。老师们也就自然知难而止步了。 长时期以来，点金术，渔，数学思想方法等之所以不断被提出来，总是希望找出获取基 本知识的有效途径，但之所以成效不显著，我想还是由于对这个问题没有深刻认识。事实上， 这些提法还是缺乏实践性和科学性，多是感觉而已。一般性的号召号召，不可能取得很大成 效。 根据我的经验，我认为解决这个问题 （即找出获取新知识的方法），需要具备以下三点 有关哲学的基本常识。 第一点，方法是一般性的东西。从而寻求方法要从特殊到一般。 第二点，一般正确，特殊也正确，而特殊正确，一般未必正确。或者说，一般有的特殊 都有，而特殊有的一般未必有。 第三点，一般和特殊，有绝对性，也有相对性。 在以上三点中，前两点学生比较容易了解，第三点不太熟悉。下面将加以详述。 （二）一般和特殊的相对性 一提起相对，人们自然会想到绝对。 绝对和相对，这本是一个相当难懂的哲学术语，我发现在日常