空间的点线面关系.docVIP

学习数学，领悟数学，秒杀数学。 空间的点、线、面之间的关系 一、平面的基本性质 名称 图示 文字表示 符号表示 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α 公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l 二、空间直线的位置关系 1.位置关系的分类 2．平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相 平行 ． 3．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 4．异面直线所成的角(或夹角)(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角．(2)范围：(0，eq \f(π,2)]． 三、直线与平面的位置关系 位置关系 图示 符号表示 公共点个数 直线l在平面α内 l?α 无数个 直线l与平面α相交 l∩α＝A 一个 直线l与平面α平行 l∥α 0个 四、平面与平面的位置关系 位置关系 图示 符号表示 公共点个数 两平面平行 α∥β 0个 两平面相交 α∩β＝l 无数个(这些公共点均在交线l上) 例1：平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为 (　　) A．3　　　　　　 B．4 C．5 D．6 解：如图与AB共面也与CC1共面的棱有CD、BC、BB1、AA1、C1D1共5条，选C。 例2：下列说法正确的是 (　　) A．若a?α，b?β，则a与b是异面直线 B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面 C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面 D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面 解：由异面直线的定义可知选D 例3：(2014·四川)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 (　　) A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3 C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面 解：在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．选B。 例4：两个不重合的平面可以把空间分成______部分． 解：由题意知两个不重合的平面可以平行或相交，平行时分空间3部分，相交时分空间4部分． 例5：一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论： ①AB⊥EF； ②AB与CM所成的角为60°； ③EF与MN是异面直线； ④MN∥CD. 以上四个命题中，正确命题的序号是________． 解：把正方体的平面展开图还原成原来的正方体如图所示，则AB⊥EF，EF与MN为异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确． 例6：以下四个命题中①不共面的四点中，其中任意三点不共线； ②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面； ③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面． 正确命题的个数是 (　　) A．0　　 B．1 C．2 D．3 解：①中显然是正确的；②中若A、B、C三点共线则A、B、C、D、E五 点不一定共面．③构造长方体或正方体，如图显然b、c异面故不正确．④中空间四边形中四条线段不共面，故只有①正确．选B。 例7：如图是正方体或四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是(　　) 解：A、B、C图中四点一定共面，D中四点不共面． 例8：在图中，G、N、M、H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号) 解：图①中，直线GH∥MN；图②中，G、H、N三点共面，但M?面GHN，因此直线GH与MN异面； 图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面； 图④中，G、M、N共面，但H?面GMN，因此GH与MN异面．所以图②、④中GH与MN异面． 例9：若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中与AC成“黄金异面直线”共有________对． 解：正方体如图