兰琦：高考压轴题的研究与讲解.docVIP

PAGE 1 尹 充 PAGE 1 高考压轴题的研究与讲解 兰琦 2016年6月23日 目录 1 引言 2 1.1 如何研究压轴题 2 1.2 如何讲解压轴题 2 2 函数 7 2.1 含参二次函数的讨论 7 2.2 参数分离 9 2.3 优雅的作图 11 2.4 函数与方程 13 3 不等式 14 3.1 必要条件探路 14 3.2 二次函数专题 15 3.3 “形”“元”“次” 17 4 向量 20 4.1 等系数和线 20 4.2 运动的转化和分解 20 4.3 极化恒等式 23 5 导数 25 5.1 端点分析 25 5.2 的应对策略 28 5.3 常用对数不等式 32 6 圆锥曲线 33 6.1 圆锥曲线的常用性质 33 6.2 合理设参 38 6.3 化齐次联立 40 6.4 仿射变换 42 7 后记 44 1 引言 1.1 如何研究压轴题 情感 不畏难，不贪多． 价值观 基本功与技巧，一题多解，见多识广． 方法论 解答(答案)→解析(分析)→解法(总结)→解释(纳入)． 1.2 如何讲解压轴题 三个适合 适合的学生(避免一窍不通)，适量的题目(有共性，有变化，融会贯通)，适度的讲解(讲关键，练实操，触类旁通)． 四个要素 力量：耐心计算，分类讨论能力；敏捷：快速试探，精准打击能力；智力：知识储备，模块重组能力；运气：自强不息，相信天道佑勤． 引例1 已知定义在R上的函数是奇函数，则________，________． 一般解法：； 力量型训练 ； 敏捷性训练 . 引例2 已知中，，与交于点，且，则________. 力量型训练 设，有 解得 敏捷性训练 如左图，过做交于，则，于是. 知识型训练 如中图，由梅涅劳斯定理，有 ，于是. 实战优化：如右图，在上标注，使得 则 . 这就相当于在点位置填，即可用“杠杆原理”解题. 引例3 证明： 力量型训练 由于，于是，因此 ， 于是只需要证明 ， 而 . 敏捷型训练 无法直接应用数学归纳法，考虑将命题加强为 ， 其中.考虑到归纳基础，需要；考虑递推证明，需要 ， 即 ， 因此取，进而即可. 知识型训练 直接利用伯努利不等式，有 . 更进一步(Pentagonal number theorem)： . 引例4 我们知道，平面上到两个定点的距离之比为定值(且)的点的轨迹是圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆.当两个定点和已知时，可以先在直线上找到两点，使得 ， 然后作以为直径的圆，即得对应的阿波罗尼斯圆. 反过来，如果已知其中一个定点，以及动点对应的阿波罗尼斯圆，也可以确定另一个定点的位置，如图. 设阿波罗尼斯圆的圆心为，半径为，，则有 ， 其中.容易解得 ， 也就是说是和的等比中项，且公比为.上述结论形式优美，容易记忆，在很多时候可以方便的解决问题. 例1 已知点在边长为2的正方形的内切圆上运动，则的最小值是________. 解 尝试应用阿波罗尼斯圆处理系数.连接对角线，设其中点为，则可知在此问题中，，于是且. 因此 ， 而在中应用勾股定理可得 ， 因此所求的最小值为. 例2 已知P在边长为2的正的内切圆上运动，则的最小值是__________. 解 与例1类似，，于是，且. 因此 ， 而在中应用余弦定理可得 ， 因此所求的最小值为. 作为练习，下面的已知条件命题： 已知点在圆: 上运动，，求__________的最小值. 答案是或. 2 函数 2.1 含参二次函数的讨论 例题2.1 已知函数，函数.若函数恰好有2个不同零点，则实数的取值范围是___________. 解 ，参见每日一题[299]. 分离参数 根据题意，方程有两根，即 , 有两根，注意到 不是方程的根，于是问题即方程 有两根.作换元，则上述方程右边 而换元后的方程的根的个数与换元前的方程的根的个数是一致的.考虑函数与直线的交点个数，如图. 于是的取值范围是. 不分离参数 以第二段为例，分析函数在区间上的零点.由于，，因此分界点为-3,0,1. 含参二次函数的讨论方法 1、开口与端点处的函数值定讨论分界点； 2、画参数讨论轴，展开讨论； 3、在每一段上用对称轴配合判别式判断图象. 2.2 参数分离 例题2.2 (每日一题[520])设函数的两个零点分别为，，且在区间上恰好有两个正整数，求实数的取值范围. 解 考虑分离变量，方程 即 . 显然不是方程的解，于是原方程等价于 ， 于是，是函数与直线的公共点的横坐标. 如图，可知区间上的两个正整数为1,2，因此的取值范围是，进而可以解得的取