高考数学母题：焦点弦的中垂线.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(17-43):焦点弦的中垂线(461) 1185 焦点弦的中垂线 [母题]Ⅰ(17-43):(《选修2-1》同步作业(安徽教育出版社)P61第9题)过双曲线x2-y2=t(t0)的右焦点F作直线,交该双曲线右支于M、N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于点P,则= . [解析]:我们解决一般性问题:过双曲线C:-=1(ab0)的右焦点F作直线,交该双曲线右支于M、N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于点P,则=(e为双曲线C的离心率).设M(x,y1),N(x2,y2),弦MN的中点为T(x0,y0),则,由-=1,-=1,两式相减得:-=0kOTkMN=kMN=弦MN的垂直平分线:y-y0=(x -x0)P(,0)|PF|=|-c|;又由焦半径公式知,|MN|=|MF|+|NF|=|(x1+x2)-2a|=|-c|=. [点评]:该题结论移植到椭圆、抛物线中,仍然成立,并且把椭圆、双曲线中的右焦点换成左焦点时,结论也仍然成立;统一叙述为过二次曲线C焦点F作直线,交曲线C于M、N两点(曲线C为双曲线时,M、N在同一支上),弦MN的垂直平分线交曲线C过点F的对称轴于点P,则=(e为曲线C的离心率,曲线C为抛物线时,e=1).当直线MN的倾斜角为α时,易求得|MN|=(p为焦准距)|PF|=|MN|=,特别地,当e=1时,|PF|-|PF|cos2α=2p. [子题](1):(2003年全国高中数学联赛试题)过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60o的直线,若此直线与抛物线交于A、B两点,弦AB的中垂线与x轴交于P点,则线段PF的长等于( ) (A) (B) (C) (D)8 [解析]:由焦点F(0,0)直线AB:y=x,代入y2=8(x+2)得:3x2-8x-16=0x1+x2=,y1+y2=中点M(,) 直线PF:y-=-(x-),令y=0得P点的横坐标xP=|PF|=.故选(A). 注:过抛物线y2=2px(p0)的焦点F作弦AB,弦AB的中垂线与x轴交于P点,则|PF|=. [子题](2):(2007年重庆高考试题)如图,倾斜角为α的直线经过抛物线y2=8x的焦点F,且与抛物线交于A、B两点. (Ⅰ)求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程; (Ⅱ)若α为锐角,作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P.证明:|FP|-|FP|cos2α为定值,并求此定值. [解析]:(Ⅰ)由p=4焦点F(2,0),准线l:x=-2; (Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点E(x0,y0);由直线AB:y=(x-2)tanα,代入y2=8x得:x2tan2α-4x(tan2α+2)+4tan2α=0 x1+x2=x0=(x1+x2)=y0=[-2]tanα=垂直平分线m:y-=- [x-],令y=0得:-=-[x-]xP=|FP|=-2=|FP| -|FP|cos2α=(1-cos2α)=4(1+cot2α)(2sin2α)=8. 1186 [母题]Ⅰ(17-43):焦点弦的中垂线(461) 注:过抛物线y2=2px(p0)的焦点F作弦AB,弦AB的中垂线与x轴交于P点,则|PF|=|PF|(2-2cos2α)=2p |PF|[2-(1+cos2α)]=2p|PF|-|PF|cos2α=2p. [子题](3):(原创题)过有心圆锥的一焦点F作不与对称轴垂直的弦AB,AB的垂直平分线l分别交AB、x轴、y轴于点M、N、P,则=e2. [解析]:设椭圆:b2x2+a2y2=a2b2(ab0),焦点F(c,0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),直线AB:y=k(x-c),代入b2x2+a2y2=a2b2得:(b2+a2k2)x2-2a2k2cx+a2k2c2-a2b2=0x1+x2=x0=(x1+x2)=y0=-直线l:y+ =-(x-)N(,0)||:||=:=e2=e2.同理可证双曲线的情况. 注:在椭圆中,由xN===e2c|xC|e2c;同理可得双曲线中,|xC|e2c. [子题系列]: 1.(2012年全国高中数学联赛新疆预赛试题)过抛