高考数学母题：焦弦三角形.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(17-21):焦弦三角形(439) 1133 焦弦三角形 [母题]Ⅰ(18-21):(2012年全国高中数学联赛试题(B卷))如图,设椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,过点F2的直线交椭圆于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点.若ΔAF1B内切圆的面积为π, 且|y1-y2|=4,则椭圆的离心率为 . [解析]:由△ABF1内切圆的面积为π△ABF1内切圆的半径r=1;又因△ABF1的周长=4a △ABF1的面积S=×4ar=2a;又由S=|F1F2||y1-y2|=4c2a=4ce=. [点评]:我们把以圆锥曲线过一焦点弦的两端点与另一焦点为顶点的三角形,叫做焦弦三角形;焦弦三角形值得研究. [子题](1):(1991年第二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)直角△ABC中,AB=AC.用C点为一个焦点作一个椭圆.使这个椭圆的另一个焦点在AB边上.且椭圆过A.B点.则这个椭圆的离心率是 . [解析]:由AC=t,则2t+t=4at=2(2-)a,由AD+AC=2aAD=2(-1)a2c=CD= =2(-1)ae=(-1). 注:椭圆焦弦三角形的基本性质:焦弦三角形的周长=4a,且焦点分得每两边的和都等于2a. [子题](2):(1993年第四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)F1,F2是双曲线x2–3y2=3的左、右焦点,A,B两点在右支上,且与F2在同一直线上,则|F1A|+|F1B|的最小值是 . [解析]:由|F1A|=2a+|F2A|,|F1B|=2a+|F2B||F1A|+|F1B|=4a+|F2A|+|F2B|=4a+|AB|≥4a+=. 注:双曲线焦弦三角形AF1B的周长=4a+2|AB|,有最小值,无最大值. [子题](3):(1995年第六届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)设点F1是椭圆+=1的左焦点,弦AB过该椭圆的右焦点F2,则△F1AB的面积的最大值是 . [解析]:设∠AF2F1=α,则|AB|==,由点F1到直线AB的距离d=|F1F2|sinα =2sinα△F1AB的面积S=|AB|d===;由sinα+≥3S≤. 注:椭圆的焦点弦|AB|=;双曲线的焦点弦|AB|=(其中,α为AB与长轴(实轴)的夹角). [子题系列]: 1.(2006年全国Ⅱ高考试题)己知△ABC的顶点B、C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是( ) (A)2 (B)6 (C)4 (D)12 2.(2001北京、内蒙古、安徽春招试题)己知F1、F2为椭圆=1的两个焦点,过F2的直线交椭圆于A、B两点,若|AB|=5, 1134 [母题]Ⅰ(17-21):焦弦三角形(439) 则|AF1|+|BF1|=( ) (A)15 (B)11 (C)10 (D)9 3.(2008年浙江高考试题)己知F1、F2为椭圆=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A、B两点,若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|= . 4.(2011年课标高考试题)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为,过F1的直线l交C于A,B两点,且ΔABF2的周长为16,那么C的方程为 . 5.(2014年全国高考试题)已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点,若ΔAF1B的周长为4,则C的方程为 . 6.(2013年辽宁高考试题)已知F为双曲线C:-=1的左焦点,P,Q为C上的点,若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则ΔPQF的周长为 . 7.(2012年全国高中数学联赛河北初赛试题)过椭圆+