高考数学母题：矩形生成二次曲线的类型和本质.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 矩形生成二次曲线的类型和本质 生成二次曲线的一个母题模型 求某动点的轨迹方程是解析几何的基本问题,也是高考的热点问题,其中,矩形是生成椭圆、双曲线、抛物线等的一个母题模型. [母题结构]:(Ⅰ)如图,在矩形ABCD中,AB=2a,AD=2b(ab0),O是矩形ABCD的中心,E,F,G 分别是AB,BC,CD的中点,动点M,N分别在OF,BC上,且满足OM:OF=CN:CF,则EM与EN的交点 P在以O为中心的椭圆上; (Ⅱ)如图,在矩形ABCD中,AB=2a,AD=2b,动点M,N分别在直线BC,CD上,且满足BM:BC=CN:CD, 则GM与EN的交点P在双曲线上; (Ⅲ)如图,在矩形ABCD中,AB=2a,AD=2b,动点M,N分别在直线AB,BC上,且满足AM:AB=BN:BC, ME⊥AB交CD于E,则AN与ME的交点P在抛物线上. [母题解析]:(Ⅰ)分别以直线OF,OG为x,y轴建立直角坐标系如图,则B(a,-b),C(a,b), D(-a,b),E(0,-b),G(0,b),设OM:OF=CN:CF=t,则M(at,0),N(a,b-bt) kEM=,kGN=-kEMkGN=-;设P(x,y),则=-+=1; (Ⅱ)以AB的中点O为坐标原点,直线AB为x轴建立直角坐标系如图,则A(-a,0),B(a,0),C(a,2b),D(-a,2b),设BM:BC =CN:CD=t,则M(a,2bt),N(2at+a,2b)kAM=,kBN=kAMkBN=;设P(x,y),则=-=1; (Ⅲ)分别以直线AB,AD为x,y轴建立直角坐标系如图,则B(2a,0),C(2a,2b),设AM:AB=BN:BC=t,则M(2at,0),N(2a,2bt) 直线ME:x=2at,AN:y=x;设P(x,y),则x=2at,且y=x,消去t得:y=x. 1.生成抛物线 子题类型Ⅰ:(2013年福建高考试题)如图,在正方形OABC中,O为坐标原点,点A的坐标 为(10,0),点C的坐标为(0,10),分别将线段OA和AB十等分,分点分别记为A1,A2,…,A9和B1,B2, …,B9,连接OBi,过Ai作x轴的垂线与OBi交于点Pi(i∈N+,1≤i≤9). (Ⅰ)求证:点Pi(i∈N+,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线E的方程; (Ⅱ)过点C作直线l与交抛物线E于不同的两点M、N,若△OCM与△OCN的面积比为4:1,求直线l的方程. [解析]:(Ⅰ)因Bi(10,i)直线OBi:10y=ix;直线AiPi:x=i点Pi(i∈N+,1≤i≤9)在抛物线E:x2=10y上; (Ⅱ)设M(x1,y1),N(x2,y2),直线l:y=kx+10;代入x2=10y得x2-10kx-100=0x1+x2=10k,x1x2=-100;由△OCM与△OCN的面积比为4:1|x1|=4|x2|(x1x20)x1=-4x2-3x2=10k,-4x22=-100k=直线l的方程:y=x+10. [点评]:解答由矩形产生的抛物线方程,较直接的方法是交轨法,即求出两动直线的方程,然后消去参数得轨迹方程. 2.生成椭圆 子题类型Ⅱ:(2003年全国高考试题)己知常数a0,在矩形ABCD中,AB=4,BC=4a,O为AB 的中点.点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动,且,P为CE与OF的交点(如图), 问是否存在两个定点,使P到这两点的距离的和为定值.若存在,求出这两点的坐标及此定值; 若不存在,请说明理由. [解析]:以O为坐标原点,直线AB为x轴建立直角坐标系如图,则A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a),设BE:BC=CG:CD= DG:DA=t,则E(2,4at),F(2-4t,4a),G(-2,4a-4at)kOF=,kEG=2at-akOFkEG=-2a2;又由直线EG:y-4at=(2at-a)(x-2)与y轴交于定点M(0,2a);设P(x,y),则kOPkMP=kOFkEG=-2a22a2x2+(y-a)2=a2;当a2=0.5时,点P的轨迹为圆弧,不存在符合题意的两点;当a2≠0.5时.点P轨迹为椭圆的一部分,点P到该椭圆焦点的距离的和为定长. [点评]:如果能利用直线EG过定点M,以OP的中点为坐标原点,直线OP为x轴建立直角坐标系,则可得标准方程:x2+2a2y2= a2,利于求焦点. 3.生成本质 子题类型Ⅲ:(2003年新课程高考试题)己知常数a0,向量c=(0,a),i=(1,0),经过原点O,以c+λi为方向向量的直线与经过定点A(0,a),以i-2λc