高考数学母题：概率的取值范围问题.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅱ(三-38):概率的取值范围问题(808) 0299 概率的取值范围问题 [母题]Ⅱ(三-38):(人教A版《选修2-3》(P59)探究与发现:服从二项分布的随机变量取何值时概率最大)如果X～N(n,p),其中0p1,那么当k由0增大到n时,P(X=k)是怎样变化的？k取何值时,P(X=k)最大？ [解析]:设f(k)=P(X=k)=Cnkpkqn-k,其中,p+q=1,k=0,1,2,…,n,则f(k)0,f(k+1)=Cnk+1pk+1qn-k-1== ;①令1,则1kp(n+1)-1当k=0,1,…,m时,P(X=k)随k的增大而增大(m=[p(n+1)-1]表示正实数p(n+1)-1的整数部分);②令1,则1kp(n+1)-1当k=m+1,m+2,…,n时,P(X=k)随k的增大而减小;当p(n+1)-1是整数时,k=m,或m+1时,P(X=k)最大;当p(n+1)-1不是整数时,k=m时,P(X=k)最大. [点评]:概率的取值范围问题包括:①概率的最值问题,尤其是求分布列中,随机变量取何值时概率最大(小)问题;②概率的上、下界问题,即证明事件的概率大于某数或小于某数. [子题](1):(服从超几何分布的随机变量取何值时概率最大)如果随机变量X满足:P(X=k)=,k=0,1,2,…, m,那么当k由0增大到m时,P(X=k)是怎样变化的？k取何值时,P(X=k)最大？ [解析]:设f(k)=P(X=k)=,则f(k)0,f(k+1)===;① 令1,则1k-1当k=0,1,…,m时,P(X=k)随k的增大而增大(m=[ -1]表示正实数-1的整数部分);②令1,则1k-1当k=m+1,m+2,…,n时,P(X=k)随k的增大而减小;当-1是整数时,k=m,或m+1时,P(X=k)最大;当-1不是整数时,k=m时,P(X=k)最大. 注:服从二项分布或超几何分布的随机变量取何值时概率最大问题是典型的概率最值问题,其中,所使用的解题方法可推广到随机变量取整数时的概率最大问题 [子题](2):(2013年安徽高考试题)某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动,分别由李老师和张老师负责,已知该系共有n位学生,每次活动均需该系k位学生参加(n和k都是固定的正整数).假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生,且所发信息都能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X. (Ⅰ)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率; (Ⅱ)求使P(X=m)取得最大值的整数m. [解析]:(Ⅰ)因为事件A“学生甲收到李老师所发信息”与事件B“学生乙收到张老师所发信息”是相互独立的与相互独立;由P(A)=P(B)==P()=P()=1-该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率=P(A+B)=1-P()P()=1-(1-)2=; 0300 [母题]Ⅱ(三-38):概率的取值范围问题(808) (Ⅱ)㈠当k=n时,有k≤m≤nm=nP(X=m)=P(X=n)=1;㈡当kn时,k≤m≤min{2k,n}, 由李老师和张老师分别随机地发给该系k位学生的基本事件总数=(Cnk)2;当X=m时,由|A| =|B|=k,|A∪B|=m,|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|m=2k-|A∩B||A∩B|=2k-m同时收到李 老师和张老师所发信息的学生数=2k-m,仅收到李老师或张老师所发信息的学生数均为k- (2k-m)=m-k事件{X=m}所含基本事件数=CnkCk2k-mCn-km-k=CnkCkm-kCn-km-kP(X=m)==; 当k≤m≤min{2k,n}时,P(X=m)≤P(X=m+1)≤Ckm-kCn-km-k≤Ckm+1-kCn-km+1-k(m-k+1)2≤(n-m) (2k-m)m≤2k-;由k≤mk≤2k-;①当n+2整除(k+1)2时,P(x=m)在m=2k-,或m=2k+1-处,取得最大值;②当n+2不整除(k+1)2时,P(x=m)在m=2k-[]处,取得最大值. 注:本题是当年试卷中的压轴题,本题中随机变量的概率分布是超几何分布的变异,