高考数学母题：竞赛中的向量问题.docVIP

Y.P.M数学竞赛讲座 1 竞赛中的向量问题 高中联赛中的向量问题具有纯粹性,着重于对向量本质特征--“数形二重性”的考察,需要充分挖掘蕴含的几何本质. 一、知识结构 1.三角形的四心表示: ⑴静态形式:①重心:P是△ABC的重心++=;②垂心:P是△ABC的垂心== +=+=+;③内心:P是△ABC的内心a+b+c=;④外心:P是△ABC的外心2=2= 2. ⑵动态形式:①重心:动点P满足P过△ABC的重心;②垂心:动点P满足 P过△ABC的垂心;③内心:动点P满足P过△ABC的内心;④外心:动点P满足 P过△ABC的外心. 2.三角形的四心性质: ⑴重心性质:在△ABC中,使2+2+2取得最小值的点P是△ABC的重心; ⑵外心性质:在△ABC中,若O是△ABC的外心,则:①=2;②=(2-2); ⑶两心关系:在△ABC中,若O、H分别是△ABC的外心和垂心,则:=++; ⑷三心联系:在△ABC中,若G、O、H分别是△ABC的重心、外心和垂心,则:=2. 3.三角形的面积: ⑴在△ABC中,S△ABC=; ⑵在△ABC中,S△ABC=tanA; ⑶在△ABC中,若=(x1,y1),=(x2,y2),则S△ABC=|x1y2-x2y1|; ⑷设点P在△ABC的内部,则α+β+γ=(α,β,γ0)成立的充要条件是α:β:γ=S△PBC:S△PAC:S△PAB. 二、典型问题 1.向量运算 [例1]:(2005年全国高中数学联赛浙江初赛试题)已知a,b是两个相互垂直的单位向量,而|c|=13,,ca=3,cb=4.则对于任意实数t1,t2,|c-t1a-t2b|的最小值是( ) (A)5 (B)7 (C)12 (D)13 [解析]: [类题]: 1.(2011年全国高中数学联赛四川初赛试题)设平面内的两个非零向量a与b相互垂直,且|b|=1,则使得向量a+mb与a+(1-m)b互相垂直的所有实数m之和为 . 2.(2005全国高中数学联赛山东初赛试题)设平面内的两个向量a与b互相垂直,且|a|=2,|b|=1,又k与t是两个不同时为零 2 Y.P.M数学竞赛讲座 的实数,若向量x=a+(3-t)b与y=-ka+t2b互相垂直,则k的最大值为___________. 3.(2009年安徽高考试题)给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为 B C 1200.如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上变功,若=x+y, 其中x,y∈R,则x+y的最大值是 . O A 2.向量夹角 [例2]:(2007年全国高中数学联赛吉林初赛试题)设向量a、b满足|a|=1,|b|=2,且a、b的夹角为600.若向量7a+2tb与向量ta+b的夹角为钝角,则实数t的取值范围是 . [解析]: [类题]: 1.(2007年全国高中数学联赛广西初赛试题)设平面上的向量a,b,x,y满足关系a=x-y,b=2x+y,又设a与b的模为1,且互相垂直,则x与y的夹角为 . 2.(2004年全国高中数学联赛河北初赛试题)已知a、b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直.则向量a、b的夹角为 . 3.(2007年全国高中数学联赛湖南初赛试题)若(a+b)⊥(2a-b),(a-2b)⊥(2a+b),试求a和b夹角的余弦值. 4.(2009年全国高中数学联赛河南初赛试题)设在同一平面上的两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则a,b的夹角的取值范围为 . 3.解析向量 [例3]:(2007年全国高中数学联赛河北初赛试题)设O(0,0),A(1,0),B(0,1),点P是线段AB上的一个动点,=λ,若≥,则实数λ的取值范围是 . [解析]: [类题]: 1.(2002年全国高中数学联赛安徽初赛试题)已知=(2,1),=(1,7),=(5,1),设X是直线OP上的一点(O为坐标原点),