高考数学母题：竞赛中的二项式定理问题.docVIP

Y.P.M数学竞赛讲座 1 竞赛中的二项式定理 二项式定理是数学竞赛的热点之一. 1.常数项 [例1]:(2003年全国高中数学联赛安徽初赛试题)在(4x2-2x-5)(1+)5的展开式中,常数项为 . [解析]: [类题]: 1.①(2008年全国高中数学联赛贵州初赛试题)(x2-)6的展开式中常数项为 (用数字作答). ②(2009年全国高中数学联赛浙江初赛试题)(x-)2009的二项展开式中常数项是 . 2.①(2012年全国高中数学联赛四川初赛试题)(x2+x-)6的展开式中的常数项是 (用具体数字作答). ②(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)展开式(1+x+)7的常数项是_____. 3.(2010年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)若二项式(a-)6的展开式中的常数项为-160,则= . 2.通项公式 [例2]:(2000年全国高中数学联赛试题)设an是(3?)n的展开式中x项的系数(n=2,3,4,…),则(++…+ )= . [解析]: [类题]: 1.(2006年全国高中数学联赛江苏初赛试题)(x-3x2)3的展开式中,x5的系数为 2.①(1998年全国高中数学联赛湖南初赛试题)若(x-)6展开式中第5项的值为,则(x-1+x-2+…+x-n)= . ②(2000年全国高中数学联赛湖南初赛试题)若(x-)6展开式中第5项的值为5,则(x-1+x-3+…+x-1-2n)= . 3.(2010年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知 (ax+1)n=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n∈N*), 点列Ai(i,ai)(i=0,1,2…,n)部分图象如图所示, 则实数a的值为________. 3.通项分析 [例3]:(2002年全国高中数学联赛试题)将二项式(+)n的展开式按x的降幂排列,若前三项系数成等差数列,则该展开式中x的幂指数是整数的项共有__________个. [解析]: [类题]: 2 Y.P.M数学竞赛讲座 1.(《中等数学》.2008年第3期.数学奥林匹克高中训练题(106))在(+)100的展开式中共有 个项为有理数. 2.①(2011年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设展开式(5x+1)n=a0+a1x+…+anxn,n≥2011,若a2011=max{a0,a1,…,an},则n= . ②(2010年全国高中数学联赛浙江初赛试题)若x∈R+,则(1+2x)15的二项式展开式中系数最大的项为( ) (A)第8项 (B)第9项 (C)第8项和第9项 (D)第11项 3.(1988年全国高中数学联赛试题)(+2)2n+1的展开式中,x的整数次幂的各项系数之和为_________. 4.赋值方法 [例4]:(2005年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设(1+x+x2)n=a0+a1x+…+a2nx2n,则a2+a4+…+a2n的值为 . [解析]: [类题]: 1.①(2010年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)设(3+x+2x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n(n∈N+)对x∈R恒成立,则a1+a2+…+a2n-1= . ②(2008年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知多项式(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n=b0+b1x+b2x2+…+bnxn,且满 足:b0+b1+…+bn=26,则正整数n的一个可能值为 . ③(2009年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知多项式(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n=b0+b1x+b2x2+…+bnxn,且满足: b0+b1+…+bn=1013,则正整数n的一个可能值为 . 2.①(2006年全国高中数学联赛四川初赛试题)若(2x-1)8=a8x8+a7x7+…+a1x+a0,则a8+a6+a4+a2= . ②(2009年全国高中数学联赛四川初赛试题)设二项式(3x-1)2n=a2nx2n+a2n-1x2n-1+…+a2x2+a1x+a