高考数学母题：三角形中的数列条件.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅱ(一-43):三角形中的数列条件(743) 0093 三角形中的数列条件 [母题]Ⅱ(Ⅰ-43):(2004年北京春招试题)在△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边长,已知a,b,c成等比数列,且a2-c2=ac-bc,求∠A的大小及的值. [解析]:由a,b,c成等比数列ac=b2,又由a2-c2=ac-bca2=b2+c2-bccosA=A==== =sinA=. [点评]:三角形中的数列条件包括: ㈠三内角A,B,C:①成等差数列B =;②成等比数列,则B= (q为公比);㈡三边a,b,c:①成等差数列(见表);②成等比数列(见表). [子题](1):(2013年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,bcosC+ bsinC-a-c=0.(Ⅰ)求证:A,B,C成等差数列;(Ⅱ)若b=,求2a+c的最大值. [解析]:(Ⅰ)由bcosC+bsinC-a-c=0-ccosB+bsinC-c=0-sinCcosB+sinBsinC-sinC=0sin(B-)= B=A,B,C成等差数列;(Ⅱ)设2a+c=t,由a2+c2-ac=37a2-5ta+t2-3=025t2-28(t2-3)≥0t≤2. 注:三内角A,B,C成等差数列的问题是高考的热点问题,请参见母题735. [子题](2):(2011年“北约”自主招生试题)△ABC的三边a、b、c满足a+b≥2c,A、B、C为△ABC的内角.求证:C≤600. [解析]:(法一)a+b≥2csinA+sinB≥2sinC2sincos≥4sincos(sin=cos0)cos ≥2sin.由cos≤1sin≤(0)≤C≤; (法二)由a+b≥2cc≤cosC=≥≥=C≤; 注:三角形的三边a,b,c无论是成等差数列,还是成等比数列,乃至于满足a+c≥2b或ac≥b2都有B∈(00,600]. [子题](3):(2014年陕西高考试题)(理)△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c. (Ⅰ)若a,b,c成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C);(Ⅱ)若a,b,c成等比数列,求cosB的最小值. [解析]:(Ⅰ)由a,b,c成等差数列a+c=2bsinA+sinC=2sinBsinA+sinC=2sin(A+C);(Ⅱ)由a,b,c成等比数列 b2=accosB=≥=当且仅当a=c时等号成立cosB的最小值=. 注: 三角形的三边a,b,c成等差数列或成等比数列有丰富的可类比的结论(见表),希望能证明掌握. [子题系列]: 1.(2012年全国高考试题)△ABC中,内角A、B、C成等差数列,其对边a、b、c满足2b2=3ac,求A. 0094 [母题]Ⅱ(一-43):三角形中的数列条件(743) 2.(2012年辽宁高考试题)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a.b,c,角A,B,C成等差数列.(Ⅰ)求cosB的值; (Ⅱ)边a,b,c成等比数列,求sinAsinC的值. 3.(1985年全国高中数学联赛试题)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c.若角A,B,C的大小成等比数列,且b2-a2=ac,则角B的弧度数等于 . 4.(2009年全国Ⅱ高考试题)设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,cos(A-C)+cosB=,b2=ac.求B. 5.(2014年陕西高考试题)(文)△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c. (Ⅰ)若a,b,c成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C);(Ⅱ)若a,b,c成等比数列,且c=2a,求cosB的值. 6.(2013年江西高考试题)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1. (Ⅰ)求证:a,b,c成等差数列;(Ⅱ)若C=,求的值. 7.(2012年山东高考试题)在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知sinB(tanA+tanC)=tanAtanC. (Ⅰ)求证:a,b,c成等比数列;(Ⅱ)若a=1,c=2,求