高考数学母题：关于等差与等比数列前n项和的中项不等式.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 关于等差与等比数列前n项和的中项不等式 生成等差或等比数列前n项和不等式的母题 等差数列和等比数列是两类不同的数列,奇妙的是在条件m+n=2k下,关于它们前n项和的不等式却是统一的,并且这些不等式是生成一类高考试题的母式. [母题结构]:己知正项等差数列或等比数列{an}的前n项和为Sn,若m+n=2k(m,n,k∈N*),则:(Ⅰ)Sk2≥SmSn,当且仅当m=n= k时,等号成立;(Ⅱ)+≥,当且仅当m=n=k时,等号成立;(Ⅲ)Sm+Sn≥2Sk(等比数列的比q1),当等比数列的比0q1时,Sm+Sn≤2Sk,当且仅当m=n=k时,等号成立. [母题解析]:当{an}是等差数列时,则Sn=An2+Bn(A0,A+B0);由m+n=2kmn≤()2=k2,(Am+B)(An+B)≤[]2 =(Ak+B)2(Ⅰ)SmSn=mn(Am+B)(An+B)≤[k(Ak+B)]2=Sk2(Ⅱ)+≥≥;由m+n=2km2+n2+2mn=4k2(mn≤k2)m2+n2≥2k2(Ⅲ)Sm+Sn=A(m2+n2)+B(m+n)≥2(Ak2+BK)=2Sk,当且仅当m=n=k时,等号成立;当{an}是等比数列时,若公比q=1,则Sn=na1,(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)三个不等式均成立;若公比q≠1,则Sn=Aqn-A,其中A=,(Ⅰ)Sk2≥SmSn(qm-1)(qn-1)≤(qk-1)2qm+n-(qm+qn)+1≤q2k-2qk+1qm+qn≥2qkqm+qn≥2成立(Ⅱ)+≥≥;(Ⅲ)Sm+Sn≥2SkA(qm+qn)≥2Aqk:当q1时,A0,A(qm+qn)≥2Aqkqm+qn≥2qk成立;当0q1时,Sm+Sn≤2Skqm+qn≥2qk成立. 1.等差数列 子题类型Ⅰ:(2008年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设非负等差数列{an}的公差d≠0,记Sn为数列{an}的前n项和,证明:(Ⅰ)若m,n,p∈N*,且m+n=2p,则+≥; (Ⅱ)若a503≤,则2008. [解析]:(Ⅰ)同母题(Ⅱ),略; (Ⅱ)由2=)≥≥.又因为S1004=1004(a1+d)≤1004(a1+502d)=1004a503≤1004×≥2007×1005×2008. [点评]:本题的第(Ⅱ)问给出了利用不等式+≥,估计数列{}前n项和下限的一种方法,值得领悟. 2.等比数列 子题类型Ⅱ:(2004年全国Ⅲ高考试题)己知{an}是等比数列,a2=6,a5=162. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设Sn是{an}的前n项和,证明:≤1. [解析]:(Ⅰ)由a2=6,a5=162q3==27q=3an=a2×3n-2=2×3n-1; (Ⅱ)由Sn≥2,Sn+1=a1+qSn=2+3Sn,Sn+2=a1+a2+q2Sn=8+9Sn==1. [点评]:若公比为q的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn+1=a1+qSn=,Sn+2=a1+a2+q2Sn,利用该递推关系,易解相关问题. 3.一个推论 子题类型Ⅲ:(1995年全国高考试题)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn是其前n项和. (Ⅰ)证明:lgSn+1; (Ⅱ)是否存在常数c0,使得:=lg(Sn+1-c)成立？并证明你的结论. [解析]:(Ⅰ)由Sn+1=a1+qSn,Sn+2=a1+a2+q2Sn(a10,q0)知,lgSn+1SnSn+2Sn+12Sn(a1+a2+q2Sn)(a1+qSn)2 (a1+a2)Sna12+2a1qSnSn+1Sn成立; (Ⅱ)由=lg(Sn+1-c)(Sn-c)(Sn+2-c)=(Sn+1-c)2,且Sn-c0SnSn+2-Sn+12=c(Sn+Sn+2-2Sn+1);由SnSn+2-Sn+120, Sn+Sn+2-2Sn+1=(Sn-c)+(Sn+2-c)-2(Sn+1-c)≥2=2(Sn+1-c)-2(Sn+1-c)=0c0.故不存在常数c0满足条件. [点评]:由本题第(Ⅱ)问可得:若正项等比数列{an}的前n项和为Sn,则不存在常数c(0cSn),使得{Sn-c}是等比数列. 4.子题系列: 1.(2010年江苏高考试题)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,已知2a2=a1+a3,数列{}是公差为d的等差数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式(用n,d表示); (Ⅱ)设c为实数,对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m,n,k,不等式Sm+SncSk都成立.求证:c的最大值为. 2.(2010年全国高中数学联赛河南初赛试题)设首项为a1的正项数列{an}的前n项和为Sn,q为非零常数.已