高考数学母题：三角綜合 .docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(6-22):三角综合(138) 405 三角综合 [母题]Ⅰ(6-22):(2013年江西高考试题)如图,已知l1⊥l2,圆心在l1上、 半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A,圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动,圆 被直线l2所截上方圆弧长记为x,令y=cosx,则y与时间t(0≤t≤1,单位:s)的函数y= f(t)的图像大致为( ) [解析]:假设经过t秒后,圆心移到O1,则有∠EO1F=2∠AO1F,且cos∠AO1F=1-t,而x=1∠EO1F y=cosx=cos∠EO1F=cos2∠AO1F=2cos2∠AO1F-1=2(1-t)2-1=2(t-1)2-1,t∈[0,1].故选(B). [点评]:三角可与中学数学的其它学科知识建立自然密切的联系,因此,着意于构造三角综合 试题是高考(竞赛)命题的常态,尤以正余弦的有界性、单调性、周期性等为出发点构造热点试题. [子题](1):(2009年全国高中数学联赛四川初赛试题)若实数x满足log2x=1+cosθ,其中θ∈[-,0],则函数f(x) =|x-1|+2|x-3|的最大值等于 . [解析]:由θ∈[-,0]cosθ∈[0,1]log2x=1+cosθ∈[1,2]x∈[2,4]f(x)=x-1+2|x-3|;①当2≤x≤3时, f(x)=5-x∈[2,3];②当3≤x≤4时,f(x)=3x-7∈[2,5].综上,f(x)的最大值=f(4)=5. 注:以正余弦的有界性来隐含某变量的取值范围,是构造三角与函数、不等式等综合试题的常见手法. [子题](2):(1998年第九届“希望杯”全国数学邀请赛高二试题)函数f(x)=()x+()x,0α,β,若x0时,f(x)2,则( ) (A)0α+β (B)0α+β (C)α+β (D)α+β [解析]:因f(0)=2,所以,当x0时,f(x)2f(x)f(0)f(x)单调递减0,101 cos(α+β)0α+βπ.故选(D). 注:本题以指数函数的单调性来包装三角函数的取值范围,进而求得角的取值范围,其本质是三角不等式问题. [子题](3):(2012年上海高考试题)(文)若Sn=sin+sin+…+sin(n∈N*),则在S1,S2,…,S100中,正数的个数是( ) (A)16 (B)72 (C)86 (D)100 [解析]:令an=sin,由0π0n7a1,a2,…,a60,a7=0S1,S2,…,S70;又由an+7=sin(π+)=-sin=- anS9,S10,…,S120,S13=S14=0;由此归纳可得Sn≥0,且S13=S14=S27=S28=S41=S42=…=S97=S98=0,计14个正数的个数=100-14= 86.故选(C). 注:三角与数列的综合有三个层次的问题:一是直接与等差、等比数列的综合;二是利用三角函数的周期性构造周期数列或研究数列的“周期性”;三是利用三角公式构造裂项式求和. [子题系列]: 1.(2011年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)若f(g(x))=sin2x,g(x)=tan(0xπ),则f()= . 2.(1994年第五届“希望杯”全国数学邀请赛高一试题)若实数x满足log6x=1+cosθ,则|x+4|+|x-36|= . 406 [母题]Ⅰ(6-22):三角綜合(138) 3.(2006年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛高一试题)若实数x满足log2x=3+2cosθ,则|x-2|+|x-33|等于( ) (A)35－2x (B)31 (C)2x－35 (D)2x－35或35－2x 4.(1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛高二试题)方程2cos=10x+10–x+1的实根