高考数学母题：三角形中的向量条件.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅱ(一-51):三角形中的向量条件(751) 0111 三角形中的向量条件 [母题]Ⅱ(Ⅰ-51):(2006年四川高考试题)已知A,B,C是三角形△ABC三内角,向量m=(-1,),n=(cosA, sinA),且mn=1.(Ⅰ)求角A;(Ⅱ)若=-3,求tanB. [解析]:(Ⅰ)由mn=1sinA-cosA=1sin(A-)=;由0Aπ-A-A-=A=; (Ⅱ)由=-31+sin2B=3(sin2B-cos2B)(sinB+cosB)2=3(sin2B-cos2B)(sinB+cosB≠0)sinB+cosB=3 (sinB-cosB)sinB=2cosBtanB=2. [点评]:存在这样一类问题:以三角形中的边或角构成的坐标向量满足一定的条件,解该三角形;该类试题的突出特点是用向量语言包装已知条件,此类问题的解题原则是:“一条途径,两种手段”,一条途径是翻译向量语言,两种手段是把向量语言,或翻译成代数语言,或翻译成几何语言. [子题](1):(2007年广东高考试题)已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(c,0). (Ⅰ)若=0,求c的值;(Ⅱ)若c=5,求sin∠A的值. [解析]:(Ⅰ)由A(3,4)、B(0,0)、C(c,0)(-3,-4),=(c-3,-4);由=0-3(c-3)+16=0c=; (Ⅱ)当c=5时,=(2,-4)cos∠A==sin∠A=. 注:本题的问题(Ⅰ)体现了翻译向量语言的解题方法;问题(Ⅱ)的解决则使用了向量方法;向量与三角形具有密切关系,三角形是问题的载体,向量是解决问题的工具,反之,利用三角形中的有关知识结论,也可以解决向量问题. [子题](2):(2009年上海高考试题)己知△ABC的角A、B、C所对的边分别为a、b、c,设向量m=(a,b),n=(sinB,sinA), p=(b-2,a-2). (Ⅰ)若m∥n,求证:△ABC为等腰三角形;(Ⅱ)若m⊥p,边长c=2,角C=,求△ABC的面积. [解析]:(Ⅰ)由m∥nasinA=bsinBa2=b2a=b△ABC为等腰三角形; (Ⅱ)由m⊥pa(b-2)+b(a-2)=0a+b=ab;又由c=2,C=a2+b2-ab=4(a+b)2-3ab=4(ab)2-3ab=4ab=4S△ABC= absinC=. 注:利用向量语言包装已知条件的基本方式有:已知向量的模、已知两向量平行、垂直、数积大小、夹角大小、模的关系等. [子题](3):(2010年武汉大学自主招生数学试题)已知向量p=(sinA,cosA),q=(cosB,sinB),且pq=sin2C,其中A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角.(Ⅰ)求角C的大小; (Ⅱ)证明:pq=sin2C的充分必要条件是sec2C+tan2C=--2;(Ⅲ)已知A=750,c=(cm),求△ABC的面积. [解析]:(Ⅰ)pq=sin2CsinAcosB+cosAsinB=sin2Csin(A+B)=sin2CsinC=2sinCcosCcosC=C=600; (Ⅱ)sec2C+tan2C=--2+=--21+sin2C+(2+)cos2C=0(sinC+cosC)2+(2+)(cosC-sinC) 0112 [母题]Ⅱ(一-51):三角形中的向量条件(751) (cosC+sinC)=0(sinC+cosC≠0)sinC+cosC+(2+)(cosC-sinC)=0tanC=C=600pq=sin2C; (Ⅲ)S△ABC=bcsinA=csinA=c2=(cm2). 注:利用向量语言可以简单的包装复杂的已知条件,体现向量外衣的作用;利用向量语言包装已知条件可以考查向量的有关知识.增加问题的综合性. [子题系列]: 1.(2007年广东高考试题)己知△ABC顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(c,0). (Ⅰ)若c=5,求sinA的值;(Ⅱ)若∠A是钝角,求c的取值范围. 2.(2009年全国高中数学联赛福建初赛试题)已知向量=(2cos(+x),-1),=(-sin(-x),cos2x),f(x)=.若a,b,c分别是