高考数学母题：三类特殊的模型函数性质.docVIP

2017年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 701 [中国高考数学母题](第198号) 三类特殊的模型函数性质 利用导数研究函数性质是高考的重点和难点,其考查的方式是给出一个具体函数,研究函数性质并解决相关问题;其中,有三类特殊的模型函数,经常出现在高考中. [母题结构]:(Ⅰ)(对偶函数)若f(x)=ex+e-x,g(x)=ex-e-x,则:①奇偶性质:f(x)是偶函数,g(x)是奇函数;②对偶性质: f2(x)-g2(x)=4,f(2x)=f2(x)-2,(x)=g(x),(x)=f(x);③凸凹性质:f(x)为凹函数,g(x)在区间[0,+∞)上为凹函数; (Ⅱ)(倒U函数)若函数f(x)=,则:①单调性质:f(x)在区间(0,e)上为增函数,在区间(e,+∞)上为 减函数,f(x)有唯一零点x=1,fmax(x)=f(e)=;②凸凹性质:f(x)在区间(0,e)上为凸函数,在区间(e,+∞)上为凹函数;③零点性质:f(x)=a有一个实根a∈(-∞,0]∪{};f(x)=a有两个实根a∈(0,). (Ⅲ)(收敛函数)若函数f(x)=,则:①f(x)是偶函数,f(x)的值域为(cosx0,1),其中,x0 ∈(π,),且tanx0=x0;②当x0时,f(x)的极大值点x0满足:x0∈(2kπ,2kπ+)(k∈N+),且tanx0=x0,f(x)的极大值=cosx0;f(x)的极小值点x0满足:x0∈((2k-1)π,(2k-1)π+),且tanx0=x0,f(x)的极小值=cosx0;③f(x)的图像在y=与y=-之间;当x∈(0,)时,f(x)单调递减,值域为(,1). [母题解析]:略. 1.对偶函数 子题类型Ⅰ:(2007年全国Ⅰ高考试题)设函数f(x)=ex-e- x. (Ⅰ)证明:f(x)的导数(x)≥2; (Ⅱ)若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围. [解析]:(Ⅰ)由f(x)=ex-e- x(x)=ex+e- x≥2; (Ⅱ)令g(x)=f(x)-ax,则g(0)=0,所以,对所有x≥0都有f(x)≥ax当x≥0时,恒有g(x)≥0当x∈[0,δ](δ是充分小的正数)时,(0)≥0a≤2;当a≤2时,(x)≥0g(x)≥g(0)=0f(x)≥ax.综上,a的取值范围是(-∞,2]. [点评]:对 [同类试题]: 1.(2014年江苏高考试题)已知函数f(x)=ex+e-x,其中e是自然对数的底数. (Ⅰ)证明:f(x)是R上的偶函数; (Ⅱ)若关于x的不等式mf(x)≤e-x+m-1在(0,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围; (Ⅲ)已知正数a满足:存在x0∈[1,+∞),使得f(x0)a(-x03+3x0)成立.试比较ea-1与ae-1的大小,并证明你的结论. 2.(2016年江苏高考试题)已知函数f(x)=ax+bx(a0,b0,a≠1,b≠1).(Ⅰ)设a=2,b=.①求方程f(x)=2的根;②若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值; (Ⅱ)若0a1,b1,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值. 2.倒U函数 子题类型Ⅱ:(2014年湖北高考试题)π为圆周率,e=2.71828…为自然对数的底数. (Ⅰ)求函数f(x)=的单调区间; (Ⅱ)求e3,3e,eπ,πe,3π,π3这6个数中的最大数与最小数. 702 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2017年课标高考母题 [解析]:(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞);由f(x)=(x)=f(x)在(0,e)内递增,在(e,+∞)内递减; (Ⅱ)由f(x)在(e,+∞)内递减及π3ef(π)f(3)f(e)3lnππln3,eln33,elnπππ3 3π,3ee3,πeeπ;又由3πeπe3最大数是3π;由π3πe3e最小数是3e. [点评]:一般地,比较ab与ba的大小都可以由函数f(x)=的单调性解决;由函数f(x)=的性质不仅可以生成许多不等式(包括不等式恒成立)问题,而且还可以生成函数f(x)=a的零点等问题. [同类试题]: 3.(2013年北京高考试题)设l为曲线C:y=在点(1,0)处的切线. (Ⅰ)求l的方程; (Ⅱ)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线l的下方. 4.(2013年江苏高考试题)设函数f(x)=lnx-ax,g(x)=ex-ax,其中a为实数. (Ⅰ)若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,且g(x)在(1,+∞)上有最小值,求a的取值范围; (Ⅱ)若g(x)在(-1,+∞)上是单调增