高考数学母题：关于数列÷nn的三个问题.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 关于数列{(1+)n}的三个问题 利用指数、对数不等式研究数列{(1+)n} 数列{(1+)n}是微积分中的一个重要数列,也是高考命题的一个重要支点,利用指数、对数不等式可以解决该数列的三个问题. [母题结构]:己知数列{an}:an=(1+)n和bn=(1+)n+1(n∈N,n≥1),则:(Ⅰ)(单调性)an+1an,bn+1bn;(Ⅱ)(有界性)anebn;(Ⅲ)(最优性)使(1+)n+α≤e≤(1+)n+β恒成立,α的最大值=-1,β的最小值=. [母题解析]:(Ⅰ)首先由不等式≤ln(1+x)≤x(x-1)f(x)=在(-1,0)和(0,+∞)上递减(由(x)= [-ln(1+x)]0,即证)f()f()(n+1)ln(1+)nln(1+)an+1an;g(x)=在(-1,0)和(0,+∞)上递增(由(x)=[x-ln(1+x)]0,即证)g()g()(n+2)ln(1+)(n+1)ln(1+)bn+1bn; (Ⅱ)由≤ln(1+x)≤x(令x=)ln(1+)nln(1+)1(n+1)ln(1+)anebn; (Ⅲ)由(1+)n+a≤e(n+a)ln(1+)≤1a≤-n;令x=∈(0,1],f(x)=-,则(x)=- +=[ln2(1+x)-],由0ln(1+x)(x)0f(x)在(0,1]上单调递减fmin(x)=g(1)=- 1a的最大值=-1;由ln(1+x)(x0)f(x)=--=β的最小值=. 1.单调性 子题类型Ⅰ:己知数列{an}:an=(1+)n+p,则:(Ⅰ)an+1anp;(Ⅱ)an+1anp≥. [解析]:令g(x)=ln(x+1)-(0x≤1),则(Ⅰ)当p时,(x)=-0g(x)g(0)=0(x)=- ln(x+1)+0f(x)=(+p)ln(x+1)在(0,1]上递减f()f()an+1an;同理可证(Ⅱ). [点评]:本题是对数列{an}单调性的最佳加强,关于数列{an}的单调性问题也应是高考的一个命题点. 2.有界性 子题类型Ⅱ:(2007年四川高考试题)设函数f(x)=(1+)x(n∈N,且n1,x∈R).(Ⅰ)当x=6时,求(1+)x的展开式中二项式系数最大的项;(Ⅱ)对任意的实数x,证明:(x)((x)是f(x)的导函数); (Ⅲ)是否存在a∈N,使得an(a+1)n恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由. [解析]:(Ⅰ)最大的项是第4项,这项是C63()3=;(Ⅱ)由(x)=(1+)xln(1+),f(2x)+f(2)=(1+)2x+(1+)2≥ 2=2(1+)x(1+);又由ln(1+x)xln(1+)1+f(2x)+f(2)2(1+)xln(1+)=2(x); (Ⅲ)由an+1anan≥a1=2,又由ane32n3n,即存在a=2,使得an(a+1)n恒成立. [点评]:数列{an}的有界性,即2≤ane是高考的一个命题点,重点应掌握数列{an}有界性的证明方法. 3.最优性 子题类型Ⅲ:(2008年湖南高考试题)已知函数f(x)=ln2(1+x)-. (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若不等式(1+)n+a≤e对任意的n∈N*都成立(其中e是自然对数的底数),求a的最大值. [解析]:(Ⅰ)函数f(x)的定义域是(-1,+∞),(x)=-;①当x∈(-1,0)时,由ln(1+x)(x) -=-0f(x)在(-1,0)上单调递增;②当x∈(0,+∞)时,由ln(1+x)(x) -=-0f(x)在(0,+∞)上单调递减; (Ⅱ)a的最大值=-1. [点评]:关于数列{an}有界性的最优解,应掌握α最大值的求法,而β最小值的求法是一个难点问题. 4.子题系列: 1.(2015年湖北高考试题)已知数列{an}的各项均为正数,bn=n(1+)nan(n∈N+),e为自然对数的底数. (Ⅰ)求函数f(x)=1+x-ex的单调区间,并比较(1+)n与e的大小;(Ⅱ)计算,,,由此推测计算的公式,并给出证明;(Ⅲ)令cn=(a1a2…an,数列{an},{cn}的前n项和分别记为Sn,Tn,证明:TneSn. 2(2007年湖北高考试题)已知m,n为正整数.(Ⅰ)用数学归纳法证明:当x-1时,(1+x)m≥1+mx;(Ⅱ)对于n≥6,已知(1- )n,求证:(1-)n()m,m=1,2,…,n;(Ⅲ)求出满足等式3n+4n+…+(n+2)n=(n+3)n的所有正整数n. 5.子题详解: 1.解:(Ⅰ)由(x)=1-exf(x)在(-∞,0)上递减,在(0,+∞)上递增ex≥x+1,令x=(1+)ne;