高考数学母题：三角形综合应用三类基本的题型.docVIP

2017年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 435 [中国高考数学母题](第137号) 三角形综合应用.三类基本的题型 与三角形的结合型试题是应高考的需要而产生的,常见的结合有三种:三角函数、平面向量和测量问题,由此构成了三类基本的高考试题. [母题结构]:(Ⅰ)(三角函数与三角形的结合):三角函数与三角形的结合有三种:①把三角形一个角隐蔽于给定的三角函数中;②利用三角函数图像上的三个特殊点,构造三角形;③利用三角函数图像与几何图形的粘接,构造三角形问题; (Ⅱ)(平面向量与三角形的结合):在△ABC中,关于的基本结论:①=bccosA;②=(b2+c2-a2);③=2cotAS△ABC; (Ⅲ)(测量问题与三角形的结合):解三角形的实际应用包括测量高度和测量距离问题,解决实际中的测量问题,首先要理解有关的专用名词,如方位角、俯角、仰角等,然后根据题意作出符合题意的图形,由此转化为解三角形问题求解. [母题解析]:略. 1.三角函数与三角形的结合 子题类型Ⅰ:(2015年山东高考试题)设f(x)=sinxcosx-cos2(x+). (Ⅰ)求f(x)的单调区间; (Ⅱ)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f()=0,a=1,求△ABC面积的最大值. [解析]:(Ⅰ)由f(x)=sin2x-[1+cos(2x+)]=sin2x-(1-sin2x)=sin2x-;令2kπ-≤2x≤2kπ+kπ-≤x≤kπ+f(x)的单调递增区间是[kπ-,kπ+],单调递区间是[kπ+,kπ+](k∈Z); (Ⅱ)由f()=0sinA=(A是锐角)cosA=;又由a2=b2+c2-2bccosAb2+c2-bc=12bc-bc≤1bc≤2+ S△ABC=bcsinA=bc≤,当且仅当b=c时,等号成立△ABC面积的最大值=. [点评]:给出一个三角函数f(x),首先要求研究f(x)的性质;然后,给出△ABC的一个内角α满足f(α)=m和其它条件,要求解△ABC.这是该类试题的一般模型. [同类试题]: 1.(2009年山东高考理科试题)设函数f(x)=cos(2x+)+sin2x. (Ⅰ)求函数f(x)的最大值和最小正周期;(Ⅱ)设A,B,C为△ABC的三个内角,若cosB=,f()=-,且C为锐角,求sinA. 2.(2009年福建高考试题)如图,某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛道的 前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数y=Asinωx(A0,ω0),x∈[0,4]的图像,且图像的最高 点为S(3,2);赛道的后一部分为折线段MNP,为保证参赛运动员的安全,限定∠MNP=1200. (Ⅰ)求A,ω的值和M,P两点间的距离;(Ⅱ)应如何设计,才能使折线段赛道MNP最长？ 2.平面向量与三角形的结合 子题类型Ⅱ:(2010年安徽高考试题)()设△ABC是锐角三角形,a、b、c分别是内角A、B、C所对边长,并且sin2A= sin(+B)sin(-B)+sin2B.(Ⅰ)求角A的值; (Ⅱ)若=12,a=2,求b、c(其中bc). 436 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2017年课标高考母题 [解析]:(Ⅰ)由sin2A=sin(+B)sin(-B)+sin2Bsin2A=cos2B-sin2B+sin2B=sinA=A=; (Ⅱ)由=12(b2+c2-a2)=12b2+c2=52;又由a2=b2+c2-2bccosAb2+c2-bc=28bc=24b=4,c=6. [点评]:平面向量与三角形的结合有两种方式:①以三角形中的边或角构成的坐标向量满足一定的条件;②以三角形两边向量的数积的条件;其中的重点是第二种方式. [同类试题]: 3.(2005年全国Ⅲ高考试题)△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,己知a,b,c成等比数列,且cosB =.(Ⅰ)求cotA+cotC的值;(Ⅱ)设求a+c的值. 4.(2007年湖北高考试题)己知△ABC的面积为3,且满足:0≤≤6,设与的夹角为θ. (Ⅰ)求θ的取值范围; (Ⅱ)求函数f(θ)=2sin2(+θ)-cos2θ的最大值与最小值. 3.测量问题与三角形的结合 子题类型Ⅲ:(2003年全国高考试题)在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市O的东偏南θ(cosθ=)方向300km的海面P处,并以20km/h的速度向西偏北450方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ [解