高考数学母题：关注数列裂项求和经典模型的应用.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 关注数列裂项求和经典模型的应用 一类数列求和不等式的母题 裂项求和的经典模型的重要作用是证明一类数列求和不等式,为揭示该类数列求和不等式的本质,特构造母题如下. [母题结构]:己知{an}(an≠0)是公差为d(d≠0)的正项等差数列,数列{}的前n项和Sn,则Sn,且对一切正整数n,f(t)Snf(t)≥. [母题解析]:由=(-)Sn=(-)Sn,且对一切正整数n,f(t)Snf(t)(- )f(t)≥. 1.直接应用 子题类型Ⅰ:(2008年江西高考试题)数列{an}为等差数列,an为正整数,其前n项和为Sn,数列{bn}为等比数列,且a1=3,b1=1,数列{b}是公比为64的等比数列,b2S2=64. (Ⅰ)求an,bn; (Ⅱ)求证:++…+. [解析]:(Ⅰ)设{an}的公差为d(d为正整数),{bn}的公比为q,则an=3+(n-1)d,bn=qn-1,由qd=64,(6+d)q=64d=2,q=8an =2n+1,bn=8n-1; (Ⅱ)由Sn=n(n+2)=(-)++…+=[(1-)+(-)+…+(-)]=(1+-- )=-. [点评]:由=(-)数列{}的前n项和Sn=(+--)(+). 2.典型放缩 子题类型Ⅱ:(2013年广东高考理科试题)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,=an+1-n2-n-,n∈N*. (Ⅰ)求a2的值; (Ⅱ)求数列{an}的通项公式; (Ⅲ)证明:对一切正整数n,有++…+. [解析]:(Ⅰ)由=an+1-n2-n-,令n=1得:2a1=a2-2a2=4; (Ⅱ)由=an+1-n2-n-Sn=-n(n+1)(n+2)an+1=Sn+1-Sn=--(n+1)(n+2)-= 1,且a1,a2适合该式=nan=n2; (Ⅲ)当n1时,=(-)++…+1+[(1-)+(-)+…+(-)]=1+(1+- -)1+(1+)=. [点评]:关于有下列放缩公式:-(-);-2(-)等. 3.放缩思想 子题类型Ⅲ:(2011年天津高考试题)已知数列{an}与{bn}满足bnan+an+1+bn+2an+2=0,bn=,n∈N*,且a1=2,a2=4. (Ⅰ)求a3,a4,a5的值; (Ⅱ)设cn=a2n-1+a2n+1,n∈N*,证明:{cn}是等比数列; (Ⅲ)设Sk=a2+a4+…+a2k,n∈N*,证明:. [解析]:(Ⅰ)a3=-3,a4=-5,a5=4; (Ⅱ)由b2n=2,b2n-1=1及bnan+an+1+bn+2an+2=0a2n-1+a2n+2a2n+1=0,2a2n+a2n+1+a2n+2=0,a2n+1+a2n+2+2a2n+3=0a2n=a2n+3a2n+1+a2n+3=-(a2n-1+ a2n+1)cn+1=-cn{cn}是等比数列; (Ⅲ)由(Ⅱ)得:a2k-1+a2k+1=(-1)k-=1-=-1=-(k+1)a2k-1=(k+1)(-1)k+1;由a2n=a2n+3 a2k=(k+3)(-1)k+1S2k=(a2+a4)+(a6+a8)+…+(a4k-2+a4k)=-k,S2k-1=S2k-a4k=k+3=)= --+)=+]=+++ +=+(-)+=-. [点评]:利用经典模型证明:aSnb(其中,Sn是数列{}的前n项和)的关键是构造等差数列{an}与{bn},使得bnbn+m≤f(n)≤anan+k. 4.子题系列: 1.(2013年广东高考文科试题)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,满足4Sn=an+12-4n-1,n∈N*,且a2,a5,a14构成等比数列. (Ⅰ)证明:a2=; (Ⅱ)求数列{an}的通项公式; (Ⅲ)证明:对一切正整数n,有++…+. 2.(2008年辽宁高考试题)在数列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列. (Ⅰ)求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测{an},{bn}的通项公式,并证明你的结论; (Ⅱ)证明:++…+. 3.(2013年江西高考试题)正项数列{an}的前n项和Sn满足:Sn2-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)令bn=,数列{bn}的前n项和为Tn.证明:对任意的n∈N+,都有Tn. 4.(2014年广东高考试题)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn满足Sn2-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*. (Ⅰ)求a1的值; (Ⅱ)数列{an}的通项公式; (Ⅲ)证明:对一切正