高考数学母题：三角形中的最值问题.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅱ(一-42):三角形中的最值问题(742) 0091 三角形中的最值问题 [母题]Ⅱ(Ⅰ-42):(2007年全国Ⅱ高考试题)在△ABC中,已知内角A=,边BC=2,设内角B=x,周长为y. (Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式和定义域;(Ⅱ)求y的最大值. [解析]:(Ⅰ)设角A、B、C所对的边分别为a、b、c,则a=2;由A=B+C=C=-B=-x0x=B∈(0,);又由==b=4sinx,c=4sin(-x)y=f(x)=a+b+c=2+4sinx+4sin(-x)=2+4sinx+4( cosx+sinx)=4sin(x+)+2;(Ⅱ)当x+=x=时,y取得最大值6. [点评]:三角形中的最值问题有三种基本类型:①已知一角,求其它二角的三角函数式的最值;②已知一角和其对边,求相关的边和三角形面积的最值;③已知边或角的约束条件,求相关量的最值. [子题](1):(2010年辽宁高考试题)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2a+c)sinB+(2c+b) sinC.(Ⅰ)求A的大小;(Ⅱ)求sinB+sinC的最大值. [解析]:(Ⅰ)由2asinA=(2a+c)sinB+(2c+b)sinCa2=b2+c2+bccosA=-A=;(Ⅱ)由sinB+sinC=sinB+sin(B+ )=sinB+cosB=sin(B+)当B=时,sinB+sinC取得最大值1. 注:已知一角,求其它二角的三角函数式的最值,解决的方法是利用“化一思想”和三角函数的有界性. [子题](2):(2013年课标Ⅱ高考试题)设△ABC在内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知a=bcosC+csinB. (Ⅰ)求B;(Ⅱ)若b=2,求△ABC面积的最大值. [解析]:(Ⅰ)由a=bcosC+csinBbcosC+ccosB=bcosC+csinBcosB=sinBtanB=1B=450; (Ⅱ)由b2=a2+c2-2accosBa2+c2-ac=42ac-ac≤4ac≤4+2△ABC的面积≤+1. 注:已知一角和其对边,求相关的最值,解决的方法是由余弦定理得约束条件,然后利用基本不等式解之. [子题](3):(2008年四川延考试题)在△ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c,已知a2+c2=2b2. (Ⅰ)若B=,且A为钝角,求内角A与C的大小;(Ⅱ)若b=2,求△ABC面积的最大值. [解析]:(Ⅰ)由a2+c2=2b2sin2A+sin2C=2sin2Bsin2A+sin2C=1sin2C=cos2A(A为钝角cosA0)sinC=-cosA cos(+C)=cosA(A,+C∈(,π))+C=A,又A+C=A=,C=;(Ⅱ)由b=2,a2+c2=2b2ac≤(a2+c2)=4 cosB==≥sinB≤S△ABC=acsinB≤,当a=c=2时,等号成立. 注:已知边或角的约束条件,求相关量的最值,解决的方法是建立相关量的目标函数,然后利用基本不等式解之. [子题系列]: 1.(2006年全国Ⅰ高考试题)△ABC的三个内角A、B、C,求当A为何值时,cosA+2cos取得最大值,并求出这个最大值. 2.(2010年浙江高考试题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积,满足S=(a2+b2-c2). 0092 [母题]Ⅱ(一-42):三角形中的最值问题(742) (Ⅰ)求角C的大小;(Ⅱ)求sinA+sinB的最大值. 3.(2011年湖南高考试题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足csinA=acosC. (Ⅰ)求角C的大小;(Ⅱ)求sinA-cos(B+)的最大值,并求取得最大值时角A,B的大小. 4.(2013年重庆高考试题)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2=b2+c2+bc. (Ⅰ)求A;(Ⅱ)设a=,S为△ABC的面积,求S+3cosBcosC的最大值,并指出此时B的值. 5.(2004年浙江高考试题)在ΔABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且cosA=. (Ⅰ)求sin2+co