高考数学母题：三角形中的三线问题.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅱ(一-44):三角形中的三线问题(744) 0095 三角形中的三线问题 [母题]Ⅱ(Ⅰ-44):(2012年安徽高考试题)设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,且有2sinBcosA =sinAcosC+cosAsinC. (Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)若b=2,c=1,D为BC的中点,求AD的长. [解析]:(Ⅰ)由2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC2sinBcosA=sin(A+C)2sinBcosA=sinB (sinB≠0)cosA=,又由A∈(0,π)A=;(Ⅱ)取AC的中点E,则AE=b=1,DE=c=,DE∥AB∠AED=π-∠BAC= ;在△ADE中,由余弦定理:AD2=AE2+DE2-2AEDEcos∠AED=AD=. [点评]:三角形的三线包括:高线、中线和角平分线;三角形的三线问题包括:根据已知条件,求三线长问题和已知三线长,解三角形问题. [子题](1):(1978年全国高考试题)已知△ABC的三内角的大小成等差数列,tanAtanC=2+,求角A,B,C的大小.又已知顶点C的对边c上的高等于4.求三角形各边a,b,c的长. [解析]:由A,B,C成等差数列B=600;tanAtanC=2+及tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC tanA+tanC=3+tanA=1,tanC=2+A=450,C=750;由a==8,b==4,c =asinB+bsinA=4+4. 注:在△ABC中,若AB边上的高CD=h,则:①h=;②h=;③h=(bcosA+). [子题](2):(2006年全国Ⅱ高考试题)己知△ABC中,∠B=450,AC=,cosC=. (Ⅰ)求BC边的长;(Ⅱ)记AB的中点为D,求中线CD的长. [解析]:(Ⅰ)由cosC=sinC=sinA=sin(B+C)=sin(450+C)=(sinC+cosC) =BC==3;(Ⅱ)由AB==2BD=AB=1;又由CD2=BD2+BC2-2BDBCcosB=13CD=. 注:在△ABC中,若AB的中点为D,则:①CD=;②CD=. [子题](3):(2011年“卓越联盟”自主招生数学试题)在△ABC中,AB=2AC,AD是A的角平分线,且AD=kAC. (Ⅰ)求k的取值范围; (Ⅱ)若S△ABC=1,问k为何值时,BC最短？ [解析]:设AC=t,∠BAC=2θ,θ∈(0,),则AB=2t,AD=kt,∠BAD=∠CAD=θ. 由S△ABC=S△ABD+S△ACD×2t×tsin2θ=×2t×ktsinθ+×kt×tsinθ2sin2θ=3ksinθk=cosθ. (Ⅰ)由θ∈(0,)cosθ∈(0,1)k∈(0,); 0096 [母题]Ⅱ(一-44):三角形中的三线问题(744) (Ⅱ)由S△ABC=×2t×tsin2θ=1t2=,BC2=(2t)2+t2-2×2t×tcos2θ=(5-4cos2θ)t2==-4. 令P(sin2θ,cos2θ),A(0,),则点P在单位圆x2+y2=1的右半圆(2θ∈(0,π)sin2θ0)上,且kPA=≥- BC2≤3BC≤,当且仅当cos2θ=,即k=cosθ=时,等号成立. 注:在△ABC中,若CD是∠ACB的平分线,则=. [子题系列]: 1.(2011年安徽高考试题)在△ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C,所对的边长,a=,b=,1+2cos(B+C)=0,求边BC上的高. 2.(2004年全国Ⅱ高考试题)己知锐角三角形ABC中,sin(A+B)=,sin(A-B)=. (Ⅰ)求证:tanA=2tanB;(Ⅱ)设AB=3,求AB边的高. 3.(2005年湖北高考试题)在△ABC中,己知AB=,cosB=,AC边上的中线BD=,求sinA的值. [子题详解]: 1.解:由1+2cos(B+C)=01-2cosA=0cosA=sinA=,根据正弦定理sinB==,baBAcosB= sinC=sin(A+B)=(+),由S△ABC=absinC=ah(h为边BC上的高)h=bsinC=. 2.解:(Ⅰ)由sinAcosB+cos