高考数学母题：留心“锐角三角形”.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 留心“锐角三角形” 锐角三角形的特殊性质 对于锐角三角形,人们认为是常见的、熟识的,因此对其也是不留意的;岂不知,锐角三角形中也存在“陷阱”,留心锐角三角形的下述几个充要条件是避开其“陷阱”的有效手段. [母题结构]:在△ABC中,a、b、c分别是内角A、B、C所对边长,则: (Ⅰ)A是锐角B+Cb2+c2a2acosCb; (Ⅱ)A,B都是锐角|a2-b2|c2a+bccot|c-a|btan. [解题程序]:(Ⅰ)由三角形内角和定理知,A是锐角B+C;由余弦定理知,A是锐角b2+c2a2;又由acosCba ba2b2+c2A是锐角; (Ⅱ)当a≥b时,|a2-b2|c2a2-b2c2a2b2+c2A是锐角,且B是锐角;由a+bccot(a+b)2c2cot2(a+b)2 c2(a+b)2c2(a2-b2)2c4|a2-b2|c2A,B都是锐角;同理可证余下一个充要条件. 1.避免分类讨论 子题类型Ⅰ:(2010年安徽高考试题)设△ABC是锐角三角形,a、b、c分别是内角A、B、C所对边长,并且sin2A=sin(+ B)sin(-B)+sin2B.(Ⅰ)求角A的值;(Ⅱ)若=12,a=2,求b、c(其中bc). [解析]:(Ⅰ)由已知得:sin2A=(cosB+sinB)(cosB-sinB)+sin2Bsin2A=cos2B-sin2B+sin2B=sinA= ,因为A是锐角A=;(Ⅱ)由=12bc=12,又b2+c2-bc=28c=6,b=4; [点评]:由△ABC是锐角三角形A是锐角,又由sinA=A=(若△ABC是任意三角形,则A还有可能是),为避免分类讨论,所以,限定“△ABC是锐角三角形”,这就是命题者的意图. 2.限定角的范围 子题类型Ⅱ:(2007年全国Ⅰ高考试题)设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=2bsinA. (Ⅰ)求B的大小;(Ⅱ)求cosA+sinC的取值范围. [解析]:(Ⅰ)a=2bsinAsinA=2sinBsinAsinB=,且B是锐角B=; (Ⅱ)因△ABC是锐角三角形,且A+C=0C=-AAA+sin(A+)cosA+ sinC=cosA+sin(-A)=cosA+sin(+A)=cosA+sinA=sin(A+)∈(,). [点评]:本题的落脚点是第(Ⅱ)问,而解答第(Ⅱ)问的关键是由△ABC为锐角三角形,求角A的范围;在锐角△ABC中,若B=θ,则A∈(-θ,). 3.关注充要条件 子题类型Ⅲ:(2013年浙江高考试题)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinB=b. (Ⅰ)求角A的大小; (Ⅱ)若a=6,b+c=8,求△ABC的面积. [解析]:(Ⅰ)由2asinB=b2sinAsinB=sinB(sinB≠0)sinA=,因为A是锐角A=; (Ⅱ)由a2=b2+c2-2bccosAb2+c2-bc＝36,又b+c=8bc=S△ABC=bcsinA=. [点评]:以上是命题者给出的“标准答案”,看似天衣无缝,完美无缺,加之高考命题者的权威性,令人难以想到该题是一道错题:由b+c=8,bc=,不妨设c≥b,则由(c-b)2=(c+b)2-4bc=16c-b=c=4+,b=4-a2+b2-c2= 4(9-)0C为钝角,与题设矛盾.高考命题者尚且在“锐角三角形”上出错,足见深刻认识锐角三角形的重要性, 4.子题系列: 1.(2007年全国Ⅰ高考试题)设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA. (Ⅰ)求B的大小; (Ⅱ)若a=3,c=5,求b. 2.(2009年湖北高考试题)在锐角△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且a=2csinA. (Ⅰ)确定角C的大小; (Ⅱ)若c=,且△ABC的面积为,求a+b的值. 3.(2013年浙江高考试题)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinB=b. (Ⅰ)求角A的大小; (Ⅱ)若a=6,b+c=8,求△ABC的面积. 4.(2011年浙江高考试题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知sinA+sinC=psinB(p∈R),且ac=b2. (Ⅰ)当p=,b=1时,求a,c的值; (Ⅱ)若角B为锐角,求p的取值范围. 5.子题详解: 1.解:(Ⅰ)由a=2bsinAsinA=2sinBsinAsinB=(B为锐角)B=;(Ⅱ)由b2=a2+c2-2accosB=7b=. 2.解:(Ⅰ)由a=2csinAsinA=2sinCsinAsinC=(C为锐角)C=;(Ⅱ)由absinC=ab=