高考数学母题：立体几何中的体积问题.docVIP

2017年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 543 [中国高考数学母题](第161号) 立体几何中的体积问题 几何体的体积问题是立体几何所特有的问题,也是文科高考立体几何解答题中的重点问题,其中的问题类型有:利用体积公式,求规则几何体的体积、能割善补,求不规则几何体的体积和两几何体的体积问题等. [母题结构]:(Ⅰ)(体积公式)若台体的上、下底面面积分别为S1、S2,高为h,则体积V=(S1++S2)h; (Ⅱ)(能割善补)求不规则几何体体积的基本方法是能割善补,基本途径有:①分割方法:把不规则的几何体分割为一些规则几何体;②补形方法:把不规则的几何体补形为一个规则几何体; (Ⅲ)(体积比定理):若从点O所作的不在同一平面内的三条射线OP、OQ和OR上,分别有点P1、P2,点 Q1、Q2和点R1、R2,则=. [母题解析]:略. 1.体积公式 子题类型Ⅰ:(2013年课标Ⅰ高考试题)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=600. (Ⅰ)证明:AB⊥A1C; (Ⅱ)若AB=CB=2,A1C=,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积. [解析]:(Ⅰ)取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B;由CA=CBOC⊥AB;由AB=AA1∠BAA1=600△AA1B 为等边三角形OA1⊥ABAB⊥平面OA1CAB⊥A1C; (Ⅱ)由△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形OC=OA1=;又A1C=A1C2=OC2+OA12OA1⊥ OCOA1⊥平面ABCOA1为三棱柱ABC-A1B1C1的高;又△ABC的面积S△ABC=三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC×OA1=3. [点评]:在台体的体积公式中,当S1=S2=S时,得柱体的体积公式V=Sh;当S1=0,S2=S时,得锥体的体积公式V=1/3Sh;对四面体A-BCD,VA-BCD=VB-ACD=VC-ABD=VD-ABC,求四面体体积的关键一是巧妙换底,换底的原则是该底面三角形的面积及该底上的高易求;二是转换求高:寻找或作出过顶点且与底面平行的直线,并着意于该直线与底面垂直平面的交点,易于作高,或利用比例转换求高. [同类试题]: 1.(2014年北京高考试题)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面, AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E、F分别为A1C1、BC的中点. (Ⅰ)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1; (Ⅱ)求证:C1F∥平面ABE; (Ⅲ)求三棱锥E-ABC的体积. 2.(2011年安徽高考试题)如图,ABEDFC为多面体,平面ABED与平面ACFD垂直,点O在线段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF都是正三角形.(Ⅰ)证明:直线BC//EF; (Ⅱ)求棱锥F-OBED的体积. 2.能割善补 子题类型Ⅱ:(2009年安徽高考试题)如图,ABCD是边长为2的正方形,直线l与平面 ABCD平行,E和F是l上的两个不同点,且EA=ED,FB=FC.E和F是平面ABCD内的两点,EE 和FF都与平面ABCD垂直.(Ⅰ)证明:直线EF垂直且平分线段AD; (Ⅱ)若∠EAD=∠EAB=600,EF=2,求多面体ABCDEF的体积. [解析]:(Ⅰ)由EE⊥平面ABCDEE⊥ADAD⊥EE;设直线EF交AD于M,由EA=EDEM⊥ADAD⊥EMAD⊥平面 EEFF平面ADE⊥平面EEFF; (Ⅱ)(法一)如图,设AD中点为M,由EA=ED,∠EAD=600EA=ADEA=AB,又∠EAB=600EA= EB四棱锥E-ABCD是正四棱锥,四面体E-BCF是正四面体多面体ABCDEF可分割成正四棱锥E-ABCD和正四面体E-BCF两部分VABCDEF=2;(法二)过E点作MN∥AD,分别交直线 544 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2017年课标高考母题 AB、CD于点M、N,过F点作SK∥AD分别交直线AB、CD于点S、K,则多面体ABCDEF被分割为一个直三棱柱EMN-FSK和两个四棱锥E-ADNM、F-BCKS,由此求解;(法三)作平面ADP⊥平面ABCD交直线l于点P,作平面FMN∥平面ADP交平面ABCD于直线MN,则多面体ABCDEF被补形为一个直三棱柱PAD-FMN,由此求解. [点评]:能割善补是求不规则几何体体积的根本手段,能割善补的目标是把不规则几何体切割或补形成规则几何体. [同类试题]: 3.(2002年北京高考试题)如图,在多面体ABCD-A1B1C1D1中,上、下底面平行且均为矩形,相对 的侧面与同