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小议函数对称性与周期性之间关系 　　函数的性质是高中数学函数部分的重点内容，历年高考针对函数的性质都会重点考察。考察范围涵盖函数的定义域，值域，解析式，函数的奇偶性，函数的单调性，对称性，函数的周期性，函数图象，极值与最值等等。本文就函数的对称性与周期性之间的关系加以阐述。 　　一、函数图象的对称性 　　函数图象的对称性的本质仍然是点与点之间的对称关系，包括点与点关于电对称，点与点关于直线对称。函数的奇偶性只不过是对称性的特例而已。函数的对称性有以下结论： 　　结论1：函数f（x）的图像关于直线x=a对称的充要条件是f（x）=f（2a-x）或者函数f（x）的图像关于直线x=a对称的充要条件是f（a+x）=f（a-x） 　　一般的，若函数f（x）满足f（a+x）=f（b-x），则f（x）关于直线对称 　　结论2：函数f（x）的图像关于直线x=0对称的充要条件是f（x）=f（-x） 　　即函数f（x）为偶函数充要条件是f（x）=f（-x） 　　结论3：函数f（x）的图像关于点（a，b）对称的充要条件是f（x）=2b-f（2a-x） 　　结论4：函数f（x）的图像关于点（0，0）对称的充要条件是f（x）=-f（-x） 　　即函数f（x）为奇函数的充要条件是f（x）=-f（-x） 　　结论5：函数y=f（x）与函数y=f（2a-x）关于直线x=a对称 　　结论6：函数y=f（a+x）与函数y=f（a-x）关于y轴对称 　　结论7：函数y=f（x）与函数y=f（-x）关于y轴对称 　　结论8：函数y=f（x）与函数y=-f（-x）关于原点对称 　　结论9：函数y=f（x）与函数y=2b-f（2a-x）关于点（a，b）对称 　　其中结论1，2，3，4反映一个函数自身的对称性，结论5，6，7，8，9反映两个函数图象的对称性 　　二、函数的周期性 　　如果函数f（x）对于定义域内的每一个x，存在一个非零的常数T，都有f（x）=f（x+T）成立，就称函数f（x）是一个周期函数，其中T叫做周期函数的一个周期。如果在函数f（x）的所有周期中，存在一个最小的正数，就称之为函数f（x）的最小正周期.对函数的周期性定义解读如下： 　　（1）周期函数的定义域是一个无限区间 　　（2）f（x）=f（x+T）是一个恒等式，对于定义域内的每一个x恒成立 　　（3）若T是函数f（x）的???个周期，则kT（k∈Z，k≠0）也是函数的周期 　　（4）周期函数未必就一定有最小正周期 　　（5）函数的周期性不是三角函数所专有的特殊性质。有些函数通过递推关系也能够推导出周期性。比如f（x+1）=-f（x）可以得出f（x）是周期为2的周期函数。 　　三、对称性与周期性之间的关系 　　具有对称性的函数往往具有周期性，有以下结论成立： 　　结论1：如果函数f（x）关于两条直线x=a，x=b对称，则函数f（x）是周期函数，周期T=2（b-a） 　　∵f（x）关于直线x=a对称，∴f（x）=f（2a-x） 　　∵f（x）关于直线x=b对称，∴f（x）=f（2a-x） 　　f[2（b-a）+x]=f[2b-（2a-x）]=f（2a-x）=f（x） 　　结论2：偶函数f（x）关于直线x=a（a≠0）对称，那么f（x）是周期为2a的周期函数.（这就是结论1中b=0时的特例） 　　结论3：函数f（x）关于点（a，0）对称，且函数f（x）关于直线x=b（b≠a）对称，那么f（x）是周期为4（b-a）的周期函数； 　　证明：∵f（x）关于点（a，0）对称，∴f（x）=-f（2a-x） 　　又∵f（x）关于直线x=b对称，∴f（x）=f（2b-x） 　　f[4（b-a）+x]=f[2b-（4a-2b-x）]=f（4a-2b-x） 　　=f[2a-（2b+x-2a）]=-f（2b+x-2a）=-f[2b-（2a-x）] 　　=-f（2a-x）=f（x） 　　结论4：奇函数f（x）关于直线x=b对称，那么f（x）是周期为4b的周期函数；（这就是结论3中a=0的特殊情况） 　　结论5：若函数f（x）关于两点（a，0），（b，0）对称，那么f（x）就是周期为2（b-a）的周期函数 　　∵f（x）关于点（a，0）对称，∴f（x）=-f（2a-x） 　　又∵f（x）关于点（b，0）对称，∴f（x）=-f（2a-x） 　　?H！f[2（b-a）+x]=f[2b-（2a-x）]=-f（2a-x）=f（x） 　　从而结论得证 　　结论6：奇函数f（x）关于点（a，0），（a≠0）对称，那么f（x）就是周期为2a的周期函数。（这就是结论5中b=0的特殊情况） 　　结论7：偶函数若具有周期性，则必有与y轴平行的对称轴. 　　略