2011华约自主招生数学试题.docVIP

2011年数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 设复数z满足且，则A、 B、 C、 D、 在正四棱锥P-ABCD中，M，N分别为PA，PB的中点，且侧面与地面所成二面角的正切值为则面直线DM与AN所成交角的余弦值为A、 B、 C、 D、 过点的直线与曲线相切，且不是切点，则直线的斜率是A、2 B、1 C、 D、 若，则的最小值和最大值分别为A、 B、 C、 D、 如图，⊙和⊙外切于点C，⊙，⊙又都和⊙O内切，切点分别为A，B，则A、B、C、D、 已知异面直线所成角，A为空间中一点，则过A与都成角的平面有且只有一个有且只有两个有且只有三个有且只有四个 已知向量，，，．则的最小值为A、1 B、 C、 D、2 AB为过抛物线焦点F的弦，O为坐标原点，且，C为抛物线准线与x轴的交点，则的正切值为A、 B、 C、 D、 如图，已知的面积为2，D，E分别为边AB，边AC上的点，F为线段DE上一点，设，且，则面积的最大值为A、 B、C、 D、 将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则A、存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形存在某种分法，所分出的三角形恰有2个是锐角三角形存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （本小题满分14分）已知不是直角三角形（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，且的倒数成等差数列，求的值 （本小题满分14分）已知圆柱形水杯质量为a克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）．质量为b克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还在圆柱轴的中点处．（Ⅰ）若，求装入半杯水后的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值；（Ⅱ）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？ （本小题满分14分）已知函数，，，令，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）证明：． （本小题满分14分）已知双曲线（），，分别为C的左、右焦点，P为C右支上一点，且使，又的面积为．（Ⅰ）求C的离心率e；（Ⅱ）设A为C的左顶点，Q为第一象限内C上的任意一点，问是否存在常数，使得恒成立．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （本小题满分14分）将一枚均匀的硬币连续抛掷次，以表示未出现连续3次正面的概率．（Ⅰ）求和；（Ⅱ）探究数列的递推公式，并给出证明；（Ⅲ）讨论数列的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义． 2013-05 B A O1 O O2 C B A C D E F 3