高考数学课件-课时跟踪检测(六十)　定点、定值、探索性问题.docVIP

课时跟踪检测(六十)　定点、定值、探索性问题 一保高考，全练题型做到高考达标 1．(2016·百校联盟模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴端点到焦点的距离为2. (1)求椭圆C的方程； (2)设A，B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且OA⊥OB.求证：原点O到直线AB的距离为定值，并求出该定值． 解：(1)由题意知，e＝＝，＝2，又a2＝b2＋c2，所以a＝2，c＝，b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)证明：当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝±，此时，原点O到直线AB的距离为. 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. 则Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)＝16(1＋4k2－m2)＞0，x1＋x2＝－，x1x2＝， 则y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝， 由OA⊥OB得kOA·kOB＝－1，即·＝－1， 所以x1x2＋y1y2＝＝0，即m2＝(1＋k2)， 所以原点O到直线AB的距离为＝. 综上，原点O到直线AB的距离为定值. 2．(2015·大庆模拟)椭圆的两焦点坐标分别为F1(－，0)，F2(，0)，且椭圆过点P. (1)求椭圆方程． (2)若A为椭圆的左顶点，作AM⊥AN与椭圆交于两点M，N，试问：直线MN是否恒过x轴上的一个定点？若是，求出该点坐标；若不是，请说明理由． 解：(1)设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)， 由题意得c＝，且椭圆过点P， ∴解得∴椭圆方程为＋y2＝1. (2)由已知直线MN与y轴不垂直，假设其过定点T(a,0)设其方程为x＝my＋a. 由得(m2＋4)y2＋2amy＋a2－4＝0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 y1＋y2＝－，y1y2＝. ∴x1＋x2＝my1＋a＋my2＋a＝m(y1＋y2)＋2a， x1x2＝(my1＋a)(my2＋a)＝m2y1y2＋am(y1＋y2)＋a2. ∵AM⊥AN，∴·＝0， 即(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)＝0， ∴x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝0. ∴(m2＋1)y1y2＋m(a＋2)(y1＋y2)＋(a＋2)2＝0， 即－＋(a＋2)2＝0. 若a＝－2，则T与A重合，不合题意，∴a＋2≠0， 整理得a＝－. 综上，直线MN过定点T. 3．(2016·大庆模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点． (1)若＝2，求直线AB的斜率； (2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值． 解：(1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为x＝my＋1. 将直线AB的方程与抛物线的方程联立， 消去x得y2－4my－4＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.① 因为＝2， 所以y1＝－2y2. ② 联立①和②，消去y1，y2，得m＝±. 所以直线AB的斜率是±2. (2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB. 因为2S△AOB＝2··|OF|·|y1－y2|＝＝4， 所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4. 4．(2015·北京高考)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点P(0,1)和点A(m，n)(m≠0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M. (1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)； (2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由． 解：(1)由题意得解得a2＝2. 故椭圆C的方程为＋y2＝1. 设M(xM,0)． 因为m≠0，所以－1n1， 直线PA的方程为y－1＝x. 所以xM＝，即M. (2)因为点B与点A关于x轴对称，所以B(m，－n)． 设N(xN,0)，则xN＝. “存在点Q(0，yQ)使得∠OQM＝∠ONQ”等价于“存在点Q(0，yQ)使得＝”，即yQ满足y＝|xM||xN|. 因为xM＝，xN＝，＋n2＝1， 所以y＝|xM||xN|＝＝2. 所以yQ＝或yQ＝－. 故在y轴上存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ，且点Q的坐标为(0，)或(0，－)． 二上台阶，自主选做志在冲刺名校 如图，过x轴上动点A(a,0)引抛物线y＝x2＋1的两条切线AP，AQ.切线斜率分别为k1和k2，切点分别为P，Q. (1)求证：k1·k2为定值，并且直线PQ过定点； (2)记S为面积，当最小时，求·的值． 解：(1)证明：法一：