倍长中线+截长补短.docVIP

倍长中线巧解题 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．下面举例说明． 一、证明线段不等 例1 如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线．求证：AB+AC＞2AD 变式1：如图，点D、E三等分△ABC的BC边，求证：AB+ACAD+AE 二、证明线段相等 例2 如图2，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG． 变式2：如图，D为线段AB的中点，在AB上取异于D的点C，分别以AC、BC为斜边在AB同侧作等腰直角三角形ACE与BCF，连结DE、DF、EF，求证：△DEF为等腰直角三角形 三、求线段的长 例3 如图3，△ABC中，∠A=90°，D为斜边BC的中点，E，F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF，若BE=3，CF=4，试求EF的长．（超前班选作） 　　 　　 　　 四、证明线段倍分 例4 如图4，CB，CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：CE=2CD． 五、证明两直线垂直 例5：如图，△ABC中，D为BC中点，AB=5，AD=6，AC=13。求证：AB⊥AD。 变式： 如图5，分别以△ABC的边AB，AC为一边在三角形外作正方形ABEF和ACGH，M为FH的中点．求证：MA⊥BC． “截长补短法”在几何证明问题中的运用 例1. 已知，如图1-1，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC. 求证：∠BAD+∠BCD=180°. 例2. 如图2-1，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB. 求证：CD=AD+BC. 例3. 已知，如图3-1，∠1=∠2，P为BN一PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD. 求证：∠BAP+∠BCP=180°. 例4. 已知：如图4-1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2. 求证：AB=AC+CD. 练习： 1、已知，如右图：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC， AD平分∠BAC.求证：AC+ CD =AB 2、已知：如右图，AC‖BD， EA、EB分别平分∠CAB和 ∠DBA，CD过E点，求证：AB=AC+BD． 3.已知：如下左图，D是EF的中点,BE=CF,求证：△ABC是等腰三角形。 4.已知：如下中图，AD平分∠BAC,AB⊥BD,∠BAC=2∠C,求证:AC=2AB 5.已知：如下右图，∠BED =∠CAD,D是BC的中点,求证:BE=AC