不等式专题讨论I.docVIP

不等式专题讨论I 下面介绍几个常见的不等式，大家从中学习一下证明不等式的方法。 1. (伯努利(Bernouli)不等式) 设，则有 ， 其中等号当且仅当时成立。 证【证法一】当时显然等号成立。现设，对，当时有 ； 当时有 . 【证法二】(数学归纳法) 当时显然等号成立。现设，当时有 ； 假设已经证明了 则 ， 这就证明了对一切的自然数伯努利不等号成立。 注1 若，伯努利不等式两边开次方得 ， 令就得 ， 再把换回就有 。 注2 若令，就有 。 注3 若，分别取或代入上面的不等式式也就得到 。 当然这些不等式都可以从二项式定理推演而来。 2. (平均值不等式) 设为个正实数，则有 ， 其中等号当且仅当当且仅当时成立。 证【证法一】我们只需证明，当不全相等时，上式为严格不等式。 当时，若，显然有 。 假设对任意个正实数平均值不等式成立。我们考虑个正实数的情形。不妨设是这个数中最大的一个，且至少大于其中之一。记 ， 则有 。 于是 ， 即 。 【证法二】可以看出对任意个非负实数有 。 那么对个非负实数有 。 由此继续下去，可以推得不等式对一切都成立。为证其对一切正整数都成立，我们采用反向归纳法，即对某个成立，则它对也成立。 设给定非负实数，令 ， 则有 ， 整理后得 ， 即不等式对成立，从而对一切成立。等号成立的条件也易得。 3. (柯西(Cauchy)-施瓦茨(Schwarz)不等式) 设为两组实数，则有 。 证【证法一】不妨设不全为零。考虑关于的二次三项式 ， 上式右边关于任何实数为非负，故其判别式，即有 ， 也就有 。 注4 这里利用的二次三项式的判别式，我们将在《线性代数》中学习到它的一般形式，即正定二次型的判别法。其中不等式中等号成立的条件是对应成比例，即存在不全为零的数与使得 。 【证法二】由等式 得到 。 由不等式可得， ，。 将这个不等式叠加在一起就得所证。 4