高考数学专题复习-空间向量与立体几何.docVIP

空间向量与立体几何 一、选择题和填空题 1．一个体积为的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为（ ） A． B． C． D． A； 设该三棱柱底面边长为，高为，则左视图面积为．由三视图可得： ，解得． 于是为所求． ．10）（丰台·文科·题9） 若一个正三棱柱的三视图及其尺寸如下图所示（单位：）， 则该几何体的体积是 ．； ． ）为（ ） A． B． C． D． A； 几何体如图，是正四棱锥，底边长，侧面底边上的高为，因此侧面积为． 4．（西城·理·题8） 如图，平面平面，=直线，是内不同的两点，是内不同的两点，且直线，分别是线段的中点．下列判断正确的是（ ） A．当时，两点不可能重合 B．两点可能重合，但此时直线与不可能相交 C．当与相交，直线平行于时，直线可以与相交 D．当是异面直线时，直线可能与平行 B；若两点重合，由知，从而平面，故有，故B正确． 如图，平面平面，=直线，是内不同的两点，是内不同的两点，且直线，分别是线段的中点．下列判断正确的是（ ） A．当时，两点不可能重合 B．当时，线段在平面上正投影的长度不可能相等 C．两点可能重合，但此时直线与不可能相交 D．当与相交，直线平行于时，直线可以与相交 C；若两点重合，由知，从而平面，故有，故正确． 下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为． ；由俯视图得此三棱锥的底面三角形面积为，又高为，故体积为 已知某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积是（ ） A． B． C． D． C；由三视图知该几何体为一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱， 它的表面积为． 6； 几何体如图所示，正面为的正方形，侧面为直角梯形，两个底边长分别为和，因此不难算出体积为． 9．（宣武·文·题11） 若将下面的展开图恢复成正方体，则的度数为 ． ； 恢复的图形如图，是正三角形，． 10．（题）（题）是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的为 ( ) A．若则 B．若则 C．若，则 D．若则 B； A中可以是任意关系；B正确；C中平行于同一平面，其位置关系可以为任意．D中平行于同一直线的平面可以相交或者平行． 11．（题）），该几何体的表面积和体积为（ ） A． B． C． D．以上都不正确 A； 易知几何体为母线长为5cm，底面直径为6cm的圆锥． 于是表面积为；体积为． 12．（朝阳理题） B； 易知其俯视图可能为边长为3，2的矩形；亦可能为半长轴为3，半短轴为2的椭圆． 13．（朝阳理题）的四条边及对角线的长均为，二面角的余弦值为，则下列论断正确的是 （ ） A．空间四边形的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为． B．空间四边形的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为 C．空间四边形的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为 D．不存在这样的球使得空间四边形的四个顶点在此球面上． A； 易知四面体为边长为的正四面体．容易计算有其外接球的半径为．于是外接球的表面积为． 14．（朝阳题），垂足分别为，且，如果增加一个条件就能推出，给出四个条件：①；②；③与在内的正投影在同一条直线上；④与在平面内的正投影所在直线交于一点． 那么这个条件不可能是（ ） A．①② B．②③ C．③ D．④ D； 在①②③的条件下，均有． 若能证明面．由面，则可证明． ①中．又由，知面． ②中由，知面． ③由面在内的正投影为直线，知面． 又面，，知面． 15．（朝阳题1） ． 易知该几何体是底面直径为1，高为1的圆柱． 于是其全面积为． 二、解答题 16．（海淀·理科·题17） 如图，三棱柱中，侧面底面，，， 且，为中点． 证明：平面； 求直线与平面所成角的正弦值； 在上是否存在一点，使得平面，若不存在，说明理由；若存在，确定点的位置． 证明：因为，且为的中点，所以． 又由题意可知，平面平面，交线为，且平面， 所以平面．如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． 由题意可知，，又 ∴． 所以得：，，，，，，则有： ，，． 设平面的一个法向量为，则有 ，令，得， 所以．． 因为直线与平面所成角和向量与所成锐角互余， 所以． 设， 即，得． 所以，得 令平面，得，即，得，即存在这样的点，为的中点． 如图：在四棱锥中，底面是菱形，，平面， 点、分别为、的中点，且． 证明：平面； 求三棱锥的体积； 在线段上是否存在一点，使得平面；若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 因为为菱形，所以又，所以，又为中点，所以而平面，平面，所以 又，所以平面因为又底面，，所