计算固体力学10-接触-碰撞.pptVIP

3 摩擦模型 界面本构方程 对于Coulomb类型性能的屈服函数，对应于Coulomb摩擦条件： 在二维情况下，屈服函数包括以斜率为 的两条斜线。 在三维情况下，屈服函数是一个圆锥。 4 弱形式 对于Lagrangian网格，建立动量方程和接触界面条件的弱形式。当接触表面是作为L格式处理时，这一形式也适用于ALE网格。为了简单，从无摩擦接触开始，后面介绍切向面力的处理。将下面的公式限制在面力或者位移边界的情况，进而描述相应的所有面力或者速度分量。 接触表面既不是面力也不是位移边界。物体A的全部边界为 注意到 在接触问题中，奇异性发生在边界，如赫兹接触(1881)。然而与断裂力学不同的是，奇异性没有显示任何的工程意义，因为表面粗糙度的存在抵消了在应力中出现的更接近奇异性的行为。 自然变分原理是对原物理问题的微分方程和边界条件建立对应的泛函，再使泛函取驻值得到问题的解答，但是其未知场函数需要满足一定的附加条件。而广义变分原理（或称约束变分方程）不需要事先满足附加条件，采用lagrange乘子法和罚函数法将附加条件引入泛函，重新构造一个修正泛函，将问题转化为求修正泛函的驻值。称为无附加条件的变分原理。 对于罚函数方法，将罚参数取正值，对修正泛函得到的近似解只是近似地满足附加条件，罚参数值越大，附加条件的满足程度就越好。而在实际计算中，罚函数只能取有限值，所以利用罚函数求解只能得到近似解。 4 弱形式 4 弱形式 Lagrange乘子弱形式 强加接触约束的通常方法是借助于Lagrange乘子。 令Lagrange乘子试函数为 相应的变分函数为 弱形式为 其中侵彻率变分为 这个弱形式不等式是等价于动量方程、面力边界条件、内部连续条件（广义的动量平衡）和接触界面条件：不可侵彻性、法向面力的动量平衡和无摩擦条件。Lagrange乘子场仅要求为C-1连续，因为它的导数并不出现在弱形式中。要求法向界面力是压力，这是对Lagrange乘子在试空间的一种限制。 虚功率为 4 弱形式 Lagrange乘子弱形式 比较Hu-Washizu变分原理，借助于Lagrange乘子，上面的方法是在弱形式中附加约束的标准方法。与Hu-W形式的唯一区别是约束为一个不等式。利用高斯积分关系，通过积分证明 从弱不等式可以推导出强形式，但是，必须考虑关于变分函数的不等式。一旦变分函数是不受约束时，对于与变分函数相乘的项的符号则没有限制，并且由密度原理该项必须为零。 从上式中的前两个积分得到 即在物体A和B上，满足动量方程和自然边界条件。 Lagrange乘子强形式 从上式联立消去 得到关于法向面力的动量平衡条件： 4 弱形式 Lagrange乘子强形式 在接触表面被积函数的所有项中，除最后一项外，变分函数是任意的，因此获得了等式， 由上式被积函数最后一项的变分函数为负值 推论 必然是非正的，即弱不等式表示不可侵彻条件 4 弱形式 在罚方法中，以沿接触表面施加不可侵彻性约束作为罚法向面力。对比于Lagrange乘子法，罚方法允许一些相互侵彻。然而，它更容易编程并且广泛应用。考虑两种形式的罚方法： 1 罚数正比于相互侵彻率 的平方； 2 罚数为相互侵彻及其率的任意函数。 在非线性问题的应用中，第二种方法是更有用的，因为速度相关罚数允许更多的相互侵彻。 在罚方法中，变分和试函数与在Lagrange乘子法中的项完全相同。对于罚方法，弱形式到强形式的等价性可以表述如下 如果 其中 率相关的罚方法（penalty） 侵彻 脱离 4 弱形式 率相关的罚方法（penalty） 罚参数 可以是空间坐标的函数。相应于罚方法的弱形式不是一个不等式；由式中出现的Heaviside分步函数引入了接触问题的非连续性质。这种弱形式并不意味着不可侵彻条件，在罚方法中，它仅仅近似地得到满足。 类似L方法，证明弱形式包含着强形式，得到 不像L乘子弱形式，罚弱形式没有强制横跨接触界面速度的连续性；事实上，横跨界面的速度将是不连续的。可以从公式中得到不连续的量级，给出 在相关法向速度分量中的不连续反比于罚参数，随罚增加而减小。 4 弱形式 接触约束方法 对于任何节点和单元之间的缝隙，g为正，不存在接触；g为负值或者为零，存在接触的节点对（单元对），施加约束条件。 通过简单地用乘子乘以上式给出的缝隙条件，给出Lagrange乘子的方法。 接触缝隙条件 视为作用在每个节点上的一个“力”以防止侵彻。 在罚函数方法中，最终缝隙值将不是零，而是一个小量，取决于所选择的参数值。罚函数方法的优点是可以