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高数课件calculus_04
一、连续函数的定义
● 定义. 设f(x) 在x 的一个邻域有定义，在x 处
0 0
有极限，并且有
lim f x = f x
0
x x
0
则称f(x) 在x 处连续。若f(x) 在区间(a,b) 上任
0
意一点都连续，称f(x) 在(a,b) 上连续，或f(x)
是(a,b) 上的连续函数。
● 例:
符号函数 sgn(x) 在x=0 处不连续。
狄利克雷函数 D(x) 在任意一点都不连续。
−∞ ,∞
sin(x), cos(x) 是 上的连续函
数。
● −
用 语言：f(x) 在x 处连续，等价于说,f(x)
0
在x 的一个邻域有定义，且对任意的 ，
0 0
存在 , 当 x −x 时，有
0 ∣ 0∣
f x − f x
∣ 0 ∣
● 例2. 若f(x) 在区间(a,b) 上满足李普希茨条件：
f x − f x ≤L x −x , ∀ x x ∈a , b
∣ 1 2 ∣ ∣ 1 2∣ 1, 2
其中L 是正的常数，那么f(x) 在(a,b) 连续。
左右连续
lim f x = f x
在x 左连续 0
0 −
x x
0
在x 右连续 lim f x = f x
0 0
x x
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