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梯度，多元函数的 微分中值定理与泰勒公式 zhanghc3@mail.sysu.edu.cn 一、梯度 ● 设函数z=f(x,y) 在(x ,y ) 有连续的偏导数，则在 0 0 点(x ,y ) 沿任意一个方向 的方向都属都存在。 0 0 l ∂ z ∂ l |x 0, y 0  = f x  x 0, y 0 cos   f y x 0, y 0  cos  ∣ ∣ ∣ ∣ =g ⋅l = g l cos g , l = g cos g , l  ∣ ∣ 0 0 0 0 其中 g = f  x y  , f x y  , l =cos  , cos   x 0, 0 y 0, 0 0 ● 于是，可以看出，在方向 和 l g = f x  x 0, y 0  , f y x 0, y 0  的方向一致的时候，这一点处的方向导数达到最 大。且此时方向导数等于 ∣g ∣ ● 又在方向 和 l g = f x  x 0, y 0  , f y x 0, y 0  的方向相反的时候，这一点处的方向导数达到最 小。且此时方向导数等于 −∣g ∣ 梯度的定义 ● 定义. 函数z=f(x,y) 在一点(x ,y ) 处的梯度定义 0 0 为  f x x 0, y 0  , f y x 0, y 0  记作 grad f | x0, y 0  = f x x 0, y 0  , f y x 0, y 0  ● 梯度的几何意义：方向导数取最大值的方向，且 模等于方向导数的最大值 三元函数的梯度 grad f | = f x y z  , f x y z  , f  x y z   x0, y 0, z 0 x 0, 0, 0 y 0, 0, 0 z 0, 0, 0 ● 例3. 设f(x,y,z)=xyz ，求 grad f | 1,2,3