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高等代数(上)期末试卷(A)
《高等代数》（上）期末试卷（A）
一、（30分）完成下列计算
1．已知行列式，其中是互不相同的的数，证明是一个次多项式，并求出的最高次项的系数和的根.
2．求解矩阵方程,其中, .
3. 求多项式在有理数域、实数域和复数域上的标准分解式.
二、（10分）已知向量组线性相关，向量组线性无关
1．证明：一定可由线性表示；
2．可由线性表示吗？说明理由.
三、（20分）设
求向量组的极大线性无关组；
2．求向量组的秩；
3．令，问为何值时，线性方程组有解？
在有解的情形时，求其全部解.
四、（20分）
1．用非退化线性替换将下面二次型化为标准形，并确定其秩和符号差.
2．取什么值时，二次型
为正定的？
五、（20分）证明题
1．证明：如果，那么
2．如果A是矩阵（），为的伴随矩阵，证明：
这里表示矩阵的秩.
3． 如果为n阶方阵，则存在着可逆的矩阵和幂等矩阵使
05级高代A卷参考答案
一、（24分）完成下列计算
1. 的最高次项的系数这；根为.
2.，，.
或作初等变换，
3.多项式可能的有理根为：；由综合除法可知，2是多项式的3重根.
在有理数域上：
在实数域上：
在复数域上：
二、（16分）
1.若不能由线性表示，由线性相关可知，线性相关，与线性无关矛盾.
2.不可以，如：线性相关；取，则线性无关，但不可由线性表示.
三、（20分）
1.作矩阵,作初等行变换将A化成阶梯形，取为极大线性无关组.
2. 作初等行变换将化成行简化阶梯形，
当时，，即向量组的秩为2；
当或时，，即向量组的秩为3。
3. 线性方程组有解当且仅当，即.通解为：
四、（20分）
二次型矩阵，对矩阵A作合同变换
，取，则做非退化线性替换，，将二次型化为标准形：，秩为3，符号差为1。
2. 二次型矩阵，
由，可解得：，无解；或从有一个二阶主子式故可知对任意的实数都不可能使为正定的。
五、（20分）证明题
1 证明 先证明，再从互素的性质可得。
2 从得
（1）当时，
（2）当时，且至少有一个代数余子式不为零，因此，又从可知的所有的列向量都是的解向量，即的所有的列向量都可由的基础解系表出，这表明；
（3）当时，的所有代数余子式为零，即。
3 设，这里，都是可逆矩阵，这样
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