高等代数(一二)A卷答案及评分标准.docVIP

高等代数（一二）A卷答案及评分标准 填空题（共21分，每空3分） 1．23 2． 3． 4． 5． 6． 7． 二、计算题（共30分） 1．（8分）作非退化线性替换把二次型化成标准形。 解：配方得 （4分） 令，则 （5分）。 所作的线性替换是：， 由于其系数矩阵的行列式， 因此这个线性替换是非退化的。（8分） 2．（10分）设，，用辗转相除法计算，并求多项式和使得 。 解：辗转相除得：，； ， （4分） 故。(5分) 把上述辗转相除过程写出来就是 从而 ，。（10分） 3．（12分）设是数域上四维线性空间的一个基，已知线性变换A在这个基下的矩阵为， 计算A； 解：在基下的坐标为， 故A在基下的坐标为， 所以A（4分）。 求A的核空间与像空间。 解：（8分） 的基础解系为，从而A的核为。（10分） 的列空间由前三个列向量生成，从而A的像空间为 。（12分） 三、综合题一（共18分，每小题6分） 令是由域上所有2阶方阵构成的线性空间。 （1） 证明是的一个基。 证明：考虑同构，把中的向量映到该向量在基下的坐标。 故，，， 。（2分） 由于矩阵，（4分）上述四个个坐标向量线性无关，从而线性无关，而=4，即它们是的一个基。（6分） （2） 求从基到基的过渡矩阵。 解：从基到基的过渡矩阵为 ，（2分）从基到基的过渡矩阵为。（4分）解得： 。（6分） （3）求在基下的坐标。 解：在基下的坐标为，从基到基的过渡矩阵为 。（2分）则在基下的坐标 。（6分） 四、综合题二（共18分，第一小题10分，第二小题8分） 设是域上的维线性空间，它的线性变换A在基下的矩阵为， （1）求的一个基，使得A在这个基下的矩阵是对角矩阵。 解：A的特征多项式， 故A的特征值分别为。（2分） 对于特征值1，解齐次线性方程组，得到一个基础解系，令 即为A的一个属于特征值1的特征向量。（4分） 对于特征值2，解齐次线性方程组，得到一个基础解系，令 即为A的一个属于特征值的特征向量。（6分） 对于特征值-2，解齐次线性方程组，得到一个基础解系，令 即为A的一个属于特征值2的特征向量。（8分） 则A在基下的矩阵为。（10分） 计算An在基下的矩阵。 解：An 在基下的矩阵为。由上题的计算可知，其中 （3分），则， 从而 。（5分） 又，。（8分） 五、证明题（共8 分） 1．（6分）设A是域 上的维线性空间上的线性变换，A 的零化多项式为。证明：A与 A+I均可逆并求它们的逆。 证明：由题可知（2分）， 整理即得，，（4分） 由可逆的定义可知与可逆且它们的逆分别为和。（6分） 2．（7分）设是阶矩阵，且有，， 证明： 的特征值是1或-1． 证明：由于（2分），我们有 ， 从而。由于， ，即（5分），所以的零化多项式为，的最小多项式为的因式，从而的特征值是1或-1。(7分)