微积分D第一章.pptVIP

四、基本初等函数 第三节 函 数 (function) 六、 函数模型 经济管理中的函数模型 导数的几何意义 第五节 函数的连续性(contiunity of function) 一、连续与间断的定义 二、初等函数的连续性 三、闭区间上连续函数的性质 证 函数间断点的分类 函数的间断点 第一类间断点 第二类间断点 跳跃 可去 无穷 振荡 其它 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 定义区间：指包含在定义域内的区间. 基本初等函数在定义域内是连续的. 初等函数仅在其定义区间内连续,在其定 义域内不一定连续; 2. 初等函数求极限的方法---代入法. 注意 因为函数y 在0点邻域内没有定义. 连续性给极限运算带来很大方便. 求 解 证明方程 x5 – 3x =1, 在 x =1 与 x =2 之间 令 f (x) = x5 – 3x –1, x?[1, 2], 则 f (x)?C( [1, 2] ), 又 f (1) = –3, f (2) = 25, f (1) ? f (2) 0, 即 方程在 x =1 与 x =2 之间至少有一根. 故 至少存在一个? ?(1, 2), 使得 f (? ) = 0, 至少有一根. 证 证 由零点定理, 设 f (x)?C ( [a, b] ), 证明: 至少存在一点 ?? （a, b）, 使得 a x1 x2 … xn b, 证 由介值定理, 至少存在一点 ? ?( x1 , xn ), 使 第六节 函数在无穷远处的极限 （limit at infinite) 2、水平、斜渐近线。 3、第二个重要极限。 1、 时函数的极限。 可证得： 1.7 无穷小量及其比较 一、 无穷小量 无穷小是极限为0的变量， 不是很小很小的数。 5、无穷小是（极限定义中的）ε。 思考题 任何两个无穷小量都可以比较吗？ 思考题解答 不一定． 例当 时 都是无穷小量 但 不存在且不为无穷大 故当 时 正切函数 余切函数 正割函数 余割函数 5.反三角函数 幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数. 华中农业大学理学院 华中农业大学理学院 华中农业大学理学院 华中农业大学理学院 华中农业大学理学院 一、函数的概念(function notation) 二、函数的运算(operate of function) 三、函数的改变量(increment of function) 四、复合函数 初等函数 五、函数的基本性质 注意 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的; 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成. 一般说来, 分段函数不是初等函数. 但有个别分段函数例外，例如 因为它可以改写为初等函数 的形式. 幂指函数 是否为初等函数？ 它是由 与 构成的复合函数, 故该幂指函数是一个初等函数. 解 例4、 单调性 有界性 奇偶性 周期性 五、函数的基本性质 指数增长模型 N(t) = N0ert t O N N0 O p p0 需求函数 D(p) 供给函数 S(p) 均衡价格 O x x0 C0 成本函数 C(x) 收益函数R(x) 保本点 收益函数R(x) = xp(x) = pD(p) 利润函数P(x) = R(x) ? C(x) 第四节 函数的极限 (limit of function) 三、函数极限的运算与性质 二、函数的单侧极限 四、无穷大量与垂直渐近线 五、第一个重要极限 在极限定义中： 1) ? 与? 和x0 有关,即 ? = ? (? ,x0). 一般说来,? 值越小,相应的? 值也越小. 2) 不等式 | f (x)－a | ? 既要对任意的 ? 0 , 同时也要对 x ? x0 以任何方式进行都成立. 3) 函数 f (x) 以 a 为极限, 但函数 f (x) 本身 可以不取其极限值 a. 定理 利用 | x ? x0 | ? ?? ?? x ? x0 ? 和极限的定义, 即可证得. y = f (x) x O y 1 1 在 x = 1 处的左、右极限. 解 解 解 华中农业大学理学院 解 * * * * * 第一章 华中农业大学理学院 第二节 预备知识 (preliminaries) 一、逻辑符号 (sign of logic) 华中农业大学理学院 二、邻域 (neighbourhood) 三、重要的不等式： 1： 华中农