微积分与数学模型.pptVIP

第二节 函数的极限 一 函数极限的定义 二 函数极限的性质 一、函数极限的定义 本节仿照数列极限讨论给出函数极限，先给出函数极限的一般概念：在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近某个确定常数，那么这一确定常数就叫作在这一过程中函数的极限。函数的极限与自变量的变化过程有关。自变量的变化过程不同，函数极限的形式就不同。主要研究两种情形： 1. 自变量趋于无穷大时函数的极限 自变量 表示 及 ， 对正数 ， 表示 及 定义1 如果对于任意给定的正数 （不论它多 么小），总存在着正数 ，使得对于适合不 等式 的一切 ，所对应的函数值 都满足不等式 ，那 么常数 就叫函数 当 时的 极限，记作 另两种情形 结论 几何解释 例1 证： 证明： 例2 也即 故取 2. 自变量趋于有限值时函数的极限 考虑自变量 趋近于有限值 ，记这一变化过程为 仿照数列极限的定义，给出 时函数的极限的定义。 定义2 设函数 在点 的某一去心邻域内有定义,如果对于任意给定的正数 (不论它多么小），总存在正数 ，使得对于适合不等式 的一切 ,对应的函数值f (x) 都满足不等式 ，那么常数 就叫函数 当 时的极限，记作 或 3) 几何解释 注: 例3 证明 证：因为 为使对于任意给定的正数 ，有 只要 ,所以对任意 ，取 则当 适合不等式 时，对应的函 数值 就满足不等式 ) ( x f 所以 证： 例4 讨论单侧极限 2 函数值无限接近于2 函数值无限接近于2 左极限 右极限 左右极限存在但不相等， 例5 证： 结论