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* 第五章 不定积分 微 积 分 返回 下页 上页 第五章 不定积分 §5.1 不定积分的概念 §5. 2 不定积分的性质 §5.3 基本积分公式 §5.4 换元积分法 §5.5 分部积分法 一、原函数 §5.1 不定积分的概念 已知某商品总收入的变化率为 ，求总 ．这是与求导数相反的问题． 收入函数 定义5.1 设 是定义在某区间上的已知函数， 若存在 ，使得 的一个原函数. 则称 为 因为 ，所以 是 的一个原函数. 但 ，所以 的原函数 不是唯一的． 说明： 1．原函数存在的条件：如果 在某区间上连续, 那么它的原函数一定存在（将在下一章证明）. 2．若 存在原函数，则原函数不是唯一。 定理5.1 若 是 的一个原函数，则 是 的所有原函数，其中 为任意常数． 二、不定积分 定义5.2 函数 的全体原函数叫做 的不定积分,记为 其中 “ ” 叫做积分号， 叫做被积函数， 叫做 积分变量， 叫做被积表达式． 由定理5.1知，若 是 的一个原函数, 则 其中任意常数 称为积分常数． 例1 求不定积分 解: 例2 求不定积分 解:当 时， ， 时， 当 处的切线斜率为 求曲线方程． 解: 设所求曲线方程为 ，则由题意 知： ，故 又因为曲线过点（1，2），所以2=1+C，得 C=1，于是所求方程为 一个原函数 的图象称为 的一条积分曲线, 其方程为 不定积分在几何上表示全体积分曲线所组成的 曲线族，它们的方程是 例3 设曲线过点（1，2）,且在横坐标为点 §5.2 不定积分的性质 一、不定积分的性质 由不定积分的定义，可知 性质1 性质2 性质3 被积函数中的常数因子可提到积分号外 即 （ 为常数,且 ） 性质4 两个函数代数和的积分，等于各函数积分 的代数和，即 或 或 性质3、 性质4的证明， 只要验证等式右端的导数等于左端的被积函数，并且右端确含一个任意常数． §5.3 基本积分公式 由于求不定积分是求导数的逆运算，所以由导数公式可以相应地得出下列积分公式： 在求不定积分时，常用到代数公式和三角函数公式： 同角三角函数公式： 半角与倍角三角函数公式： 例1 求不定积分　　　　　 解 直接积分法: 利用不定积分的性质和基本公式计算不定积分.　 关键: 将被积函数作恒等变形,使之符合基本积分公式的要求.　 类型一: 因式展开　 注意:在分项积分后，不必每一个积分结果都加 “ ”，只要在总的结果中加一个 就行了． 熟练后可省略 例2 求不定积分 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解: 类型二: 假分式化为整式和真分式之和.　 思考题:求 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (特点:分子的最高次数大于　 或等于分母的最高次数) 例4 求不定积分 解 例3 求不定积分　　　　　　　　　 解 类型三:利用三角函数公式转换.　 同理可求　　　　　　　　　 (方法:降幂) 同理可求　　　　　　　　　 注:　　　　　　　　　 的偶次方幂一般可用例3的方法.　　　　 例5 求不定积分　　　　　　　　　 解: 类型四: 裂项.　 注:被积函数为 或 的偶次幂一般应先降幂. 固定成本为3000元, 求总成本函数. 解:边际成本是总成本函数的导数, 由题意知: 故 例6 已知某商品的边际成本为 已知固定成本为3000元,即 于是总成本函数为 从而,得 §5.4 换元积分法 一、第一换元积分法（凑微分法） 例1 求不定积分 　　　　 分析:被积函数 是复合函数，不能直接 套用 的公式．我们可以把原积分作下列 变形后计算： 例2 求不定积分 分析: 注意到被积式中含有 项，而余下 的部分恰有微分关系： 于是类似于例1，可作如下变换与计算： 同样可验证计算结果是正确的． 一般，我们有如下的换元积分法: 是 定理5.2 若 的一个原函数，则 证明: 令 根据复合函数的微分法，得 因此，由不定积分的定义就得到了定理中的公式． 利用第一换元积分法（也叫凑微分法）计算 积分的一般步骤为： 例3 求不定积分 解 被积函数中的一个因子为 于是有 余下的因子 恰好是中间变量 的导数， 例4 求不定积分 解 设 ，则 ．于是 说明：在对变量代换方法熟悉后，可略去中间 的换元步骤，直接凑微分后积分即可. 例5 求不定积分 解 例6 求不定积分 解 一些常用的类型： 令 令 令 令 令 令 令 令 令 令 例7 求不定积分 解：