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第八节 一、周期为2 l 的周期函数的傅里叶级数 定理. 证明: 令 说明: 例2. 把 (2) 将 当函数定义在任意有限区间上时, 方法2 例3. 将函数 内容小结 思考与练习 备用题 * 目录 上页 下页 返回 结束 一般周期的函数的傅里叶级数 周期为2 l 的周期函数的 傅里叶级数 第十二章 周期为 2l 的函数 f (x) 周期为 2? 的函数 F(z) 变量代换 将F(z) 作傅氏展开 f (x) 的傅氏展开式 狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 2) 在一个周期内只有有限个极值点 设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件, 则它的傅里叶级数展开式为 (在 f (x) 的连续点处) 其中 , 则 令 则 所以 且它满足收敛定 理条件, 将它展成傅里叶级数: ( 在 F(z) 的连续点处 ) 变成 是以2? 为周期的周期函数, 其中 令 ( 在 f (x) 的 连续点处 ) 证毕 其中 (在 f (x) 的连续点处) 如果 f (x) 为偶函数, 则有 (在 f (x) 的连续点处) 其中 注: 无论哪种情况 , 在 f (x) 的间断点 x 处, 傅里叶级数 都收敛于 如果 f (x) 为奇函数, 则有 解 展开成 (1) 正弦级数; (2) 余弦级数. 解: (1) 将 f (x) 作奇周期延拓, 则有 在 x = 2 k 处级数收敛于何值? 作偶周期延拓, 则有 说明: 此式对 也成立, 由此还可导出 据此有 M(x)的奇拓展是连续函数 解 对M(x)进行奇延拓, 所得到的函数的傅立叶系数: 对上式第二项,令 t = l－x, 则 再注意M(x)的奇拓展是连续函数, 从而 方法1 令 即 在 上展成傅里叶级数 周期延拓 将 在 代入展开式 上的傅里叶级数 其展开方法为: 令 在 上展成正弦或余弦级数 奇或偶式周期延拓 将 代入展开式 在 即 上的正弦或余弦级数 展成傅里叶级数. 解: 令 设 将F(z) 延拓成周期为 10 的周期函数, 理条件. 由于F(z) 是奇函数, 故 则它满足收敛定 解 练2 为正弦 级数. 1. 周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式 (x ?间断点) 其中 当f (x)为奇 函数时, (偶) (余弦) 2. 在任意有限区间上函数的傅里叶展开法 变换 延拓 3. 傅里叶级数的复数形式 利用欧拉公式导出 1. 将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其图形? 答: 易看出奇偶性及间断点, 2. 计算傅里叶系数时哪些系数要单独算 ? 答: 用系数公式计算 如分母中出现因子 n－k 从而便于计算系数和写出 收敛域 . 必须单独计算. 习题课