微积分 习题课二.pptVIP

二、 导数应用 第二章 习题课 一、 微分中值定理及其应用 （二）中值定理及导数的应用 拉格朗日中值定理 一、 微分中值定理及其应用 1. 微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 柯西中值定理 泰勒中值定理 2. 微分中值定理的主要应用 (1) 研究函数或导数的性态 (2) 证明恒等式或不等式 (3) 证明有关中值问题的结论 3. 有关中值问题的解题方法 利用逆向思维 , 设辅助函数 . 一般解题方法: 证明含一个中值的等式或根的存在 , (2) 若结论中涉及到含中值的两个不同函数 , (3) 若结论中含两个或两个以上的中值 , 可用原函数法找辅助函数 . 多用罗尔定理, 可考虑用 柯西中值定理 . 必须多次应用 中值定理 . (4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式 , (5) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧. 有时也可考虑对导数用中值定理 . 例1. 设 在 内可导, 且 证明至少存在一点 使 上连续, 在 证: 问题转化为证 设辅助函数 显然 在 [ 0 , 1 ] 上满足罗尔定理条件, 故至 使 即有 少存在一点 例2. 且 试证存在 证: 欲证 因 f ( x ) 在 [ a , b ] 上满足拉氏中值定理条件, 故有 将①代入② , 化简得 故有 ① ② 即要证 例3. 设实数 满足下述等式 证明方程 在 ( 0 , 1) 内至少有一 个实根 . 证: 令 则 且 由罗尔定理知存在一点 使 即 二、 导数应用 1. 研究函数的性态: 增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 , 曲率 2. 解决最值问题 目标函数的建立与简化 最值的判别问题 3. 其他应用 : 求不定式极限 ; 几何应用 ; 相关变化率; 证明不等式 ; 研究方程实根等. 的连续性及导函数 例4. 填空题 (1) 设函数 其导数图形如图所示, 单调减区间为 ; 极小值点为 ; 极大值点为 . 提示: 的正负作 f (x) 的示意图. 单调增区间为 ; . 在区间 上是上凸弧 ; 拐点为 提示: 的正负作 f (x) 的示意图. 形在区间 上是下凸弧; 则函数 f (x) 的图 (2) 设函数 的图形如图所示, 例5. 证明 在 上单调增加. 证: 令 在 [ x , x +1 ]上利用拉格朗日中值定理, 故当 x 0 时, 从而 在 上单调增. 得 例6. 设 在 上可导, 且 证明 f ( x ) 至多只有一个零点 . 证: 设 则 故 在 上连续单调递增, 从而至多只有 一个零点 . 又因 因此 也至多只有一个零点 . 思考: 若题中 改为 其它不变时, 如何设辅助函数? 例7. 求数列 的最大项 . 证: 设 用对数求导法得 令 得 因为 在 只有唯一的极大值点 因此在 处 也取最大值 . 又因 中的最大项 . 极大值 列表判别: 例8. 证明 证: 设 , 则 故 时, 单调增加 , 从而 即 思考: 证明 时, 如何设辅助 函数更好 ? 提示: 例9. 设 且在 上 存在 , 且单调 递减 , 证明对一切 有 证: 设 则 所以当 令 得 即所证不等式成立 . 例10. 证: 只要证 利用一阶泰勒公式, 得 故原不等式成立. 例11. 证明当 x 0 时, 证: 令 则 法1 由 在 处的二阶泰勒公式 , 得 故所证不等式成立 . 与 1 之间) 法2 列表判别: 即 法3 利用极值第二判别法. 故 也是最小值 , 因此当 时 即 例12. 求 解法1 利用中值定理求极限 原式 解法2 利用泰勒公式 令 则 原式 解法3 利用罗必塔法则 原式